【名师伴你行】2014高考数学一轮复习-第二章-函数与方程课件-新人教A版

§2.9函数与方程[高考调研明确考向]考纲解读考情分析•结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．•根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解.•函数的零点、方程根的个数是历年高考的重要考点．•利用函数的图像及性质判断函数的零点，及利用它们求参数取值范围问题是重点，也是难点．•题型以选择题和填空题为主，常与函数的图像与性质交汇命题.知识梳理1.函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使□1________成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与□2______有交点⇔函数y＝f(x)有□3______.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有□4__________，那么函数y＝f(x)在区间□5________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得□6________，这个□7________也就是f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像Δ＞0Δ＝0Δ＜0与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数□8______□9______无3.二分法(1)二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且□10______的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间□11____，使区间的两个端点逐步逼近□12______，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间[a，b]，验证□13__________，给定精确度ε.第二步，求区间(a，b)的中点x1.第三步，计算f(x1)：①若□14________，则x1就是函数的零点；②若□15____________，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若□16____________，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．第四步，判断是否达到精确度ε；即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)．否则重复第二、第三、第四步．答案：□1f(x)＝0□2x轴□3零点□4f(a)·f(b)＜0□5(a，b)□6f(c)＝0□7c□8两个□9一个□10f(a)·f(b)＜0□11一分为二□12零点□13f(a)·f(b)＜0□14f(x1)＝0□15f(a)·f(x1)＜0□16f(x1)·f(b)＜0名师微博●一个口诀用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．●两个防范(1)函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，是数不是点．(2)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，f(a)·f(b)＞0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个．所以说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．●三种方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.基础自测1.若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式Δ＞0，即m2－4＞0，解得m＜－2或m＞2，故选C.答案：C2．若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点()A．至少有一个B．至多有一个C．有且只有一个D．可能有无数个答案：B3．如图所示的函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是()①②③④A．①②B．①③C．①④D．③④答案：B4．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为()A.－14，0B.0，14C.14，12D.12，34解析：因为f14＝e14＋4×14－3＝e14－2＜0，f12＝e12＋4×12－3＝e12－1＞0，所以f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为14，12.答案：C5．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是__________．解析：函数f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上递增．由已知条件f(0)f(1)＜0，即a(a＋2)＜0，解得－2＜a＜0.答案：(－2,0)[例1]函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0－2＋lnx，x＞0的零点个数为()A．3B．2C．7D．0考点一函数零点与零点个数的判断解析：方法一：由f(x)＝0得x≤0，x2＋2x－3＝0，或x＞0，－2＋lnx＝0.解得x＝－3，或x＝e2.因此函数f(x)共有两个零点．方法二：函数f(x)的图像如图所示：可观察函数f(x)共有两个零点．答案：B.方法点睛对函数零点个数的判断可从以下几个方面入手考虑：①结合函数图像；②根据零点存在性定理求某些点的函数值；③利用函数的单调性判断函数的零点是否唯一等．变式训练1函数f(x)＝log3x＋x－3的零点一定在区间()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：方法一：函数f(x)＝log3x＋x－3的定义域为(0，＋∞)，并且在(0，＋∞)上递增连续，又f(2)＝log32－1＜0，f(3)＝1＞0，∴函数f(x)＝log3x＋x－3有唯一的零点且零点在区间(2,3)内．方法二：方程log3x＋x－3＝0可化为log3x＝3－x，在同一坐标系中作出y＝log3x和y＝3－x的图像如图所示，可观察判断出两图像交点横坐标在区间(2,3)内．答案：C[例2]是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个零点，且只有一个零点．若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．考点二有关二次函数的零点问题解析：∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝9a－892＋89＞0，∴若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0.所以a≤－15或a≥1.检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1.所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1，方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.(2)当f(3)＝0时，a＝－15，此时f(x)＝x2－135x－65.令f(x)＝0，即x2－135x－65＝0，解之得x＝－25或x＝3，方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－15.综上所述，a＜－15或a＞1.方法点睛解决二次函数的零点问题：①可利用一元二次方程的求根公式；②可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；③利用二次函数的图像列不等式组．变式训练2关于x的一元二次方程x2－2ax＋a＋2＝0，当a为何实数时(1)有两个不同正根；(2)不同的两根在(1,3)之间；(3)有一根大于2，另一根小于2；(4)在(1,3)内有且只有一解．解析：设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，Δ＝4a2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)＝4(a－2)(a＋1)．(1)由已知条件Δ＞0，x1＋x2＝2a＞0，x1x2＝a＋2＞0，解得a＞2.(2)由已知条件Δ＞0，1＜a＜3，f1＞0，f3＞0，解得2＜a＜115.(3)由已知条件f(2)＜0，解得a＞2.(4)由已知条件f(1)f(3)＜0，解得115＜a＜3.检验：当f(3)＝0，a＝115时，方程的两解为x＝75，x＝3，当f(1)＝0，即a＝3时，方程的两解为x＝1，x＝5，可知115≤a＜3.当Δ＝0，1＜a＜3，⇒a＝2.即a＝2时f(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2方程的解x1＝x2＝2，∴a＝2.综上，a＝2或115≤a＜3.[例3]已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋t－1，g(x)＝x＋e2x(x＞0，其中e表示自然对数的底数)．(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；(2)确定t的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．考点三函数零点性质的应用解析：(1)方法一：∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e.故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有零点．方法二：作出g(x)＝x＋e2x的图像如图：可知若使g(x)＝m有零点，则只需m≥2e.方法三：解方程由g(x)＝m，得x2－mx＋e2＝0.此方程有大于零的根，故m2＞0，Δ＝m2－4e2≥0等价于m＞0，m≥2e或m≤－2e，故m≥2e.(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)＝f(x)中函数g(x)与f(x)的图像有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋e2x(x＞0)的图像．∵f(x)＝－x2＋2ex＋t－1＝－(x－e)2＋t－1＋e2.其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为t－1＋e2.故当t－1＋e2＞2e，即t＞－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴t的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．方法点睛此类利用零点求参数范围的问题，可利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构造两函数图像求解，使得问题简单明了，这也体现了当不是求零点，而是利用零点的个数，或有零点时求参数的范围，一般采用数形结合法求解．变式训练3已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1,1)上有一个零点．(1)求实数a的取值范围；(2)若a＝3217，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根．解析：(1)若a＝0，则f(x)＝－4与题意不符，∴a≠0，∴f(－1)·f(1)＝8(a－1)(a－2)＜0，∴1＜a＜2.(2)若a＝3217，则f(x)＝3217x3－6417x＋2817，∴f(－1)＞0，f(1)＜0，f(0)＝2817＞0，∴零点在(0,1)上，又f12＝0，∴f(x)＝0的根为12.思想方法(三)如何利用图像求解函数零点问题数形结合是重要的思想方法之一，也是高考考查的热点问题，利用函数图像判断方程是否有解，有多少个解是常见常考的题型，数形结合法是求函数零点个数的有效方法，其基本思路是把函数分成两个函数的差，分折的基本思想是分折后的函数图像比较容易做出，则函数零点个数就是两函数图像交点的个数．一、判定函数零点的个数[示例1](2011·陕西)函数f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内()A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点转化：函数f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内的零点个数即为函数y＝x与y＝cosx的交点个数．作图：结论：由于x＞1时，y＝x＞1，y＝cosx≤1，所以两图像只有一个交点，即方程x－cosx＝0在[0，＋∞)内只有一个根，所以f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内只有一个零点，所以选B.二、判断零点的范围[示例2](2011·山东)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的