高一数学衔接班第4课——一元二次方程的根与系数

高一数学衔接班第4课——一元二次方程的根与系数一、学习目标：1、掌握一元二次方程的根的判别式，并能运用根的判别式判断方程解的个数。2、掌握一元二次方程的根与系数的关系，即韦达定理，并能运用韦达定理处理一些简单问题。二、学习重点：一元二次方程的根与系数的关系三、课程精讲：1、旧知回顾：一元二次方程20(0)axbxca的两个根为：221244,22bbacbbacxxaa2、新知探秘：对于一元二次方程20(0)axbxca，有没有实数根的关键因素是什么？知识点一：一元二次方程的根的判别式一元二次方程20(0)axbxca，用配方法将其变形为：2224()24bbacxaa（1）当240bac时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：21,242bbacxa（2）当240bac时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：1,22bxa（3）当240bac时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24bac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24bac叫做一元二次方程20(0)axbxca的根的判别式，表示为：24bac【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：（1）22310xx（2）24912yy（3）25(3)60xx思路导航：可以用根的判别式来判断一元二次方程解的个数解：（1）2(3)42110，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）原方程可化为：241290yy2(12)4490，∴原方程有两个相等的实数根．（3）原方程可化为：256150xx2(6)45152640，∴原方程没有实数根．点津：在使用判别式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．【例2】已知关于x的一元二次方程2320xxk，根据下列条件，分别求出k的取值范围：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根思路导航：已知一元二次方程解的个数则可知判别式的值与零的大小关系，从而求出k的取值范围。解：2(2)43412kk（1）141203kk；（2）141203kk；仿练：（3）方程有实数根；（4）方程无实数根．解：（3）141203kk；（4）141203kk．点津：求待定字母的取值范围，有时应考虑“一元二次方程”这个隐含条件，即方程中的二次项不能为0。若本题的一元二次方程改为：2230kxx，k的取值范围将分别是什么呢？知识点二：一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20(0)axbxca的两个根为：221244,22bbacbbacxxaa所以：22124422bbacbbacbxxaaa，22222122244()(4)422(2)4bbacbbacbbacaccxxaaaaa定理：如果一元二次方程20(0)axbxca的两个根为12,xx，那么：1212,bcxxxxaa说明：一元二次方程的根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”。上述定理成立的前提是0。【例3】若12,xx是方程2220070xx的两个根，试求下列各式的值：（1）2212xx；（2）1211xx；（3）12(5)(5)xx；（4）12||xx．思路导航：本例若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．本例可利用韦达定理来解答．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007xxxx（1）2222121212()2(2)2(2007)4018xxxxxx（2）121212112220072007xxxxxx（3）121212(5)(5)5()2520075(2)251972xxxxxx（4）22121212||()4(2)4(2007)22008xxxxxx点津：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2xxxxxx，12121211xxxxxx，22121212()()4xxxxxx，2121212||()4xxxxxx，2212121212()xxxxxxxx，33312121212()3()xxxxxxxx等等．韦达定理体现了整体思想．【例4】已知关于x的方程221(1)104xkxk，根据下列条件，分别求出k的值．（1）方程两实根的积为5；（2）方程的两实根12,xx满足12||xx．思路导航：（1）由方程两实根的积为5，用韦达定理即可求解；（2）有两种可能，一是120xx，二是12xx，所以要分类讨论．解：（1）∵方程两实根的积为5∴222121[(1)]4(1)034,412154kkkkxxk4k,23k且所以，当4k时，方程两实根的积为5．（2）由12||xx得知：①当10x时，12xx，所以方程有两相等实数根，故302k；②当10x时，12120101xxxxkk，由于302k，故1k不合题意，舍去．综上可得，32k时，方程的两实根12,xx满足12||xx．点津：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0．【直击高中】一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系在高中数学中应用非常广泛，它在二次函数、不等式、解析几何等方面都有非常广泛的应用，下面让我们一起来感受一下它的作用。【例5】已知实数x、y满足22210xyxyxy，试求x、y的值．思路导航：已知条件中由于只给出了关于x，y的一个关系式，所以并不能用普通的解方程组的方法求x，y，应考虑关系式的特殊性。解：可以把所给方程看作关于x的方程，整理得：22(2)10xyxyy由于x是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300yyyyy，代入原方程得：22101xxx．综上知：1,0xy点津：转化的思想是高中数学的一个基本思想，可以把复杂问题简单化，也可以把不常见的问题转化成常见的问题，解题时要注意转化思想的运用。【例6】（1）判断直线21yx与抛物线231yxx的交点的个数；（2）若直线2yxb与抛物线2yx有两个不同的交点，求b的取值范围思路导航：求直线与抛物线交点的个数，第（1）小题可以转化为方程组22131yxyxx的解的个数；第（2）小题可以转化成方程组22yxbyx有两个不同的解时，求b的取值范围。解：（1）依题意，联立方程组22131yxyxx，消元得，250xx，此时2(5)410250，故方程组有两个不同的解，即有两个不同的交点。（2）由22yxbyx得22xxb，即220xxb依题意知，2(2)41()0b，1b点津：判断两曲线交点个数的常用方法有直接求解法、判别式法及图像法。其中判别式法是把图像交点个数的判断转化为判断方程组的解的个数，体现出解析几何的思想——用代数的方法研究几何问题。【例7】已知12,xx是一元二次方程24410kxkxk的两个实数根．（1）是否存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立？若存在，求出k的值；若不存在，请您说明理由．（2）求使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值．思路导航：对于存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．解：（1）假设存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立．∵一元二次方程24410kxkxk有两个实数根∴2400(4)44(1)160kkkkkk，又12,xx是一元二次方程24410kxkxk的两个实数根∴1212114xxkxxk∴222121212121212(2)(2)2()52()9xxxxxxxxxxxx939425kkk，但0k．∴不存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立．（2）∵222121212211212()44224411xxxxxxkxxxxxxkk∴要使其值是整数，只需1k能被4整除，故11,2,4k，注意到0k，故使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值为2,3,5．点津：（1）对于存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．（2）本题综合性较强，要学会对41k为整数情况的分析方法．四、知识提炼导图：五、目标期望：现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节中有广泛的应用．希望通过本节课的学习，同学们能够熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，并能在学习函数、不等式以及解析几何时进行合理的运用。六、下节课预告：下节课我们将学习《不等式》，该内容主要涉及一元二次不等式、分式不等式等知识，虽然关于不等式的诸多内容在高中阶段将会比较系统地得以学习，但是为了更顺利地完成高中各模块的学习任务，有必要对一元二次不等式、分式不等式等基本知识先作学习和掌握。【同步练习】（答题时间：45分钟）（一）选择题1.一元二次方程2(1)210kxx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.2kB.2,1kk且C.2kD.2,1kk且2.若12,xx是方程22630xx的两个根，则1211xx的值为（）A.2B.2C.12D.923.已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程22(21)30xmxm的根，则m等于（）A.3B.5C.53或D.53或4.若t是一元二次方程20(0)axbxca的根，则判别式24bac和完全平方式2(2)Matb的关系是（）A.MB.MC.MD.大小关系不能确定5.若实数ab，且,ab满足22850,850aabb，则代数式1111baab的值为（）A.20B.2C.220或D.220或（二）填空题6.如果方程2()()()0bcxcaxab的两根相等，则,,abc之间的关系是______。7.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870xx的两个根，则这个直角三角形的斜边长是_______。8.若方程22(1)30xkxk的两根之差为1，则k的值是_____。9.设12,xx是方程20xpxq的两实根，121,1xx是关于x的方程20xqxp的两实根，则p=_____，q=_____。10.已知实数,,abc满足26,9abcab，则a=_____，b=_____，c=_____。（三）解答题11.判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x2－3x＋3＝0；（2）x2－ax－1＝0；（3）x2－ax＋（a－1）＝0；（4）x2－2x＋a＝0．12.关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2，满足|x1－x2|＝2，求实数m的值．13.已知关于x的方程x2＋2（m－2）x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大2