高一数学衔接班第5课——不等式

高一数学衔接班第5课——不等式一、学习目标1.掌握一元二次不等式的解法，如不等式组法、图象法2.掌握简单分式不等式的解法3.会解简单的含字母系数的不等式，会求有关字母取值或取值范围的问题二、学习重点一元二次不等式的解法三、课程精讲1.新知探秘问题：如何解不等式260xx．思路导航：不等式左边可以因式分解，根据“符号法则---正正（负负）得正、正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组．解：方法一：原不等式可以化为：(3)(2)0xx，于是：3020xx或3020xx333222xxxxxx或或所以，原不等式的解是32xx或．点津：当把一元二次不等式化为20(0)axbxc或的形式后，只要等式左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法。形如20(0)(0)axbxca或其中的不等式称为关于x的一元二次不等式．知识点一：一元二次不等式的解法——不等式组法例1.解下列不等式：（1）(2)(3)6xx（2）(1)(2)(2)(21)xxxx思路导航：要先将不等式化为20(0)axbxc或的形式，通常使二次项系数为正数．解：（1）原不等式可化为：2120xx，即(3)(4)0xx于是：3030344040xxxxx或所以原不等式的解是34x．（2）原不等式可化为：240xx，即240(4)0xxxx于是：00044040或xxxxx所以原不等式的解是4x0．点津：在将不等式化为20(0)axbxc或的形式时，通常把二次项系数化正，还要注意进行正确的分解因式知识点二：一元二次不等式的解法——图象法问题：对于如何解不等式260xx，还有其他的解法吗？解：方法二：二次函数26yxx（1）作出图象（如图所示）；（2）根据图象容易看到，图象与x轴的交点是(3,0),(2,0)，即当32或=xx时，0y．就是说对应的一元二次方程260xx的两个实数根是32或=xx．（3）当32xx或时，0y，对应图像位于x轴的上方．就是说260xx的解是32xx或．当32x时，0y，对应图像位于x轴的下方．就是说260xx的解是32x．一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：（1）求相应一元二次方程的根；（2）观察相应的二次函数的图象。①如果图象与x轴有两个交点12(,0),(,0)xx，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根12,xx（也可由根的判别式0来判断）。②如果图象与x轴只有一个交点(,0)2ba，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根122bxxa（也可由根的判别式0来判断）．③如果图象与x轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根（也可由根的判别式0来判断）。简单的说，求解一元二次不等式的步骤为：（1）求根（2）画图（3）写出解集例2.解下列不等式：（1）2280xx（2）2440xx思路导航：按着图象法的解题步骤进行解：（1）不等式可化为(2)(4)0xx∴一元二次方程的两根为-2、4∴由图象知，不等式的解是24x（2）不等式可化为2(2)0x∴由图象知不等式的解是2x仿练：220xx解：不等式对应的一元二次方程220xx无解由22yxx的函数图像可知，原不等式无解点津：实际上，“一元二次方程”、“一元二次函数”“一元二次不等式”之间存在某种内在联系，简称为“三个二次的关系”；“三个二次的关系”完全可以统一到函数的图像中去，即一元二次方程的根是一元二次函数图像与x轴交点的横坐标，也是一元二次不等式解的端点值，当然，这部分内容到高中还会学习到。知识点三：简单分式不等式的解法例3.解下列不等式：（1）2301xx（2）2301xxx思维导航：（1）类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组再进行处理；或者因为两个数（式）相除为异号，那么这两个数（式）相乘也为异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解．（2）注意到经过配方后，分母实际上是一个正数解：（1）法一：原不等式可化为：3323023031221010211xxxxxxxxx或或法二：原不等式可化为：3(23)(1)012xxx．（2）∵22131()024xxx原不等式可化为：303xx点津：分式不等式可以通过转化成一元一次不等式组来求解，当然，还有其他的方法，那就是可以转化成一元二次不等式来求解，但请注意不等式2301xx与一元二次不等式231xx（（））0是否同解。事实上，它们的解并不相同，2301xx的解为312x，而231xx（（））0的解为312x。例4.解不等式132x思路导航：分母当中含有未知量x，而不等式的右端并不为0，此题能直接去分母吗？显然，因为分母2x的符号不能确定，所以此题不能直接去分母，可以通过移项，把不等式的一端化为0。解：原不等式可化为：(35)(2)013535530002202223xxxxxxxxxx或点津：（1）转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0．（2）本例若采取直接去分母的方法，则需要讨论分母的符号：2220201532553(2)13(2)12333xxxxxxxxxxx或或或【直击高中】在高中，经常会遇到含有字母系数的不等式，这样的字母我们称为参数，在含有参数的不等式中，由于参数取值的不同，会导致不等式解的不确定，换句话说，参数取值的不同，导致不等式解的结果不同，所以往往需要对参数的取值范围分情况讨论，从而讨论不等式的解，这种思想就是分类讨论的思想。例如：对于初中很熟悉的不等式0axb最终可以化为axb的形式．（1）当0a时，不等式的解为：bxa；（2）当0a时，不等式的解为：bxa；（3）当0a时，不等式化为：0xb；①若0b，则不等式的解是全体实数；②若0b，则不等式无解．例5.求关于x的不等式222mxmxm的解．思路导航：通过移项、整理，原不等式可变形为一元一次不等式的形式2(2)2mmxm，显然不等式的解的情况取决于22mm的符号，所以需要对22mm的符号进行讨论。解：原不等式可化为：(2)2mmxm（1）当202mm即时，1mx，不等式的解为1xm；（2）当202mm即时，1mx．①当02m时，不等式的解为1xm；②当0m时，不等式的解为1xm；③当0m时，不等式的解为全体实数．（3）当202mm即时，不等式无解．综上所述：当0m或2m时，不等式的解为1xm；当02m时，不等式的解为1xm；当0m时，不等式的解为全体实数；当2m时，不等式无解。仿练：已知关于x的不等式22kkxx的解为12x，求实数k的值．思路导航：将不等式整理成axb的形式，可以考虑只有当0a时，才有形如bxa的解，从而令12ba．解：原不等式可化为：2(1)2kxk．所以依题意：2101332121212kkkkkk或．点津：对于含有参数的不等式往往都需要对参数进行分情况讨论，所以要特别注意运用分类讨论的数学思想。例6.已知对于任意实数x，22kxxk恒为正数，求实数k的取值范围．思路导航：22kxxk恒为正数，即不等式220kxxk恒成立，无法直接解此不等式，所以需把问题进行转化，考虑“三个二次”的关系，利用二次函数的图像帮助求解。解：显然0k不合题意，于是：222000111(2)4010kkkkkkkk或点津：“一元二次方程”、“一元二次函数”“一元二次不等式”有着密切的联系，解任何一方面的问题，都可以借助其他方面加深对问题的理解从而解决问题，这里面体现着高中数学的又一个重要的数学思想----函数与方程的思想。例7.已知关于x的不等式22(1)30kxkx的解为3x1，求k的值．思路导航：对应的一元二次方程的根是1和3，且对应的二次函数的图象开口向上．根据一元二次方程根与系数的关系可以求解。解：由题意得：2011313(1)3kkkkk点津：本例也可以根据方程有两根1和3，用代入法得：22(1)(1)(1)30kk，2233(1)30kk，且0k，从而解得1k．四、知识提炼解方程或不等式解的情况△0△=0△0ax2+bx+c=0（a0）x=x1或x=x2a2bxx21无实数解ax2+bx+c0{x|xx1或xx2}a2bx|xRax2+bx+c0{x|x1xx2}无解无解五、目标期望一元二次不等式是不等式的一种重要形式，学好一元二次不等式不仅可以解分式不等式，而且对于处理二次函数，一元二次方程的有关问题都会起到重要的促进作用，希望通过本节课的学习，使同学们能够熟练的求解一元二次不等式及分式不等式，并能运用相关知识处理一些简单的含有参数的不等式问题。六、下讲预告二次函数是初中的主要内容，也是高中学习的重要基础。在初中阶段，我们已经学习过如何求二次函数的最值，下节课我们将在此基础上继续学习当自变量在某个范围时，函数的最值问题。【同步练习】（答题时间：30分钟）1.关于x的不等式xxx352的解是A.5x或1xB.5x或1xC.15xD.15x2.不等式0322xx的解为A.31xx或B.13xC.13xx或D.31x3.不等式20(0)axbxca的解集为R，那么A.0,0aB.0,0aC.0,0aD.0,0a4.若不等式022bxax的解是1123x，则ab的值是（）A.10B.14C.10D.145.不等式xx212的解是.6.不等式101xx的解是___________7.不等式21221xx的解是______________8.若不等式02bxax的解为,2131x求a和b的值。9.解不等式：（1）x2＋2x－3≤0；（2）x－x2＋6＜0；（3）4x2＋4x＋1≥0；（4）x2－6x＋9≤0；（5）－4＋x－x2＜0.10.解关于x的不等式2(1)0xaxa【试题答案】1.B.2.C3.A4.A5.1x6.11xx或7.132xx或8.解：由题意知20axxb有解1211,32xx，结合函数图象2yaxxb，可知0a，由韦达定理，1113211()32aba，解得6a，1b9.解：（1）∵Δ＞0，方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝－3，x2＝1.∴不等式的解为－3≤x≤1.（2）整理，得x2－x－6＞0.∵Δ＞0，方程x2－x－6=0的解为x1＝－2，x2＝3.∴所以，原不等式的解为x＜－2，或x＞3.（3）整理，得（2x＋1）2≥0.由于上式对任意实数x都成立，∴原不等式的解为一切实数.（4）整理，得（x－3）2≤0.由于当x＝3时，（x－3）2＝0成立；而对任意的实数x，（x－3）2＜0都不成立，∴原不等式的解为x＝3.（5）整理，得x2－x＋4＞0.Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数.10.解：2(1)(