误差理论与测量平差基础

课程结构1Ch1绪论课程基本情况教材《误差理论与测量平差基础》《误差理论与测量平差基础习题集》武汉大学出版社2Ch1绪论怎样学好测量平差预习、复习加习题练习独立思考并推导公式平差思想和解题思路高数线代概率习题练习公式推导数学基础习题练习公式推导平差思想平差思想数学基础3Ch1绪论为什么要学测量平差？1.测量过程中可能会出现照错目标读错数如何避免错误或及时发现错误？解决方法：增加多余观测。2.有多余观测，如何消除不符，求出最优值？4Ch1绪论测量平差的任务和意义任务1）消除不符值，寻求未知参数的最佳估值；2）评定结果的精度。意义所有观测数据只有通过平差才能使用，即测量平差是测绘科学和技术的基础和灵魂。5Ch1绪论测量平差的作用和地位1）解决测量工作中的实际问题，对测量数据进行处理，求出最佳估值。2）是测绘学科的基础理论，是对仪器操作和基本测量方法的主要补充。3）其核心知识是后续专业课程的重要基础，如大地测量、GPS测量原理、变形监测等。4）是测绘工程专业研究生入学考试课程，是硕士和博士阶段的重要课程。6Ch1绪论课程结构参见目录7章节主要内容Ch1绪论Ch2-Ch3平差基础知识Ch4平差基本原则Ch5-Ch8四种经典平差方法Ch9平差方法总结Ch10点位精度讨论Ch11统计假设检验Ch12近代平差简介Ch1绪论基本概念•误差对未知量进行测量的过程称为观测，测量所得的结果称为观测值。观测值与其真实值（真值）之间的差异称为测量误差或观测误差，通常称真误差，简称误差。•测量平差测量平差是测量数据调整的意思。其定义是，依据某种最优化准则，由一系列带有观测误差的测量数据，求定未知量的最佳估值及精度的理论和方法。81.1观测误差一、误差来源测量仪器：仪器精密度；仪器轴线关系引起。观测者：操作水平，工作态度，使用习惯。外界环境：温度，湿度，风力，大气折光等。91.1观测误差二、误差分类•偶然误差在相同误差在大小和符号上表现出偶然性•系统误差误差在大小和符号上表现出系统性，或按一定规律变化•粗差即错误101.1观测误差误差名称误差特点消除或削弱的办法举例偶然误差Randomerror单个误差没有规律性，整体具有统计规律，服从或近似服从正态分布采用测量平差的方法照准误差对中误差估读误差系统误差Systematicerror误差在大小和符号上表现出系统性，或按一定规律变化，或为常数采用适当的观测方法校正仪器计算加改正尺长误差i角误差粗差Grosserror即大的偏差或错误重复观测严格检核发现舍弃或重测大数读错输入错误照错目标111.2测量平差的研究对象研究对象：带有误差的观测值经典测量平差：只含有偶然误差的观测值近代测量平差：观测值除了含有偶然误差，还含有系统误差或粗差，或两种兼有。平差问题的解决思路：121.3测量平差简史及发展1794年，C.F.Gauss从概率统计角度提出了最小二乘法1806年，A.M.Legendre从代数角度提出了最小二乘法1809年，Gauss在《天体运动的理论》一文中发表，称为Gauss-Legendre方法1912年，A.A.Markov，对最小二乘原理进行了证明，形成数学模型（函数模型+随机模型）近代发展现在的国内相关专家1312020)(,0lim)(PQAXLEnEAXLnPLAPAAXTT1)(1.4本课程的任务和内容本书主要为经典测量平差内容，即只讨论带有偶然误差的观测值。（1）偶然误差理论。偶然误差特性，传播；精度指标及估计；权。（2）测量平差的函数模型和随机模型，最小二乘原理。（3）测量平差的基础方法。条件平差，附有未知参数的条件平差，间接平差，附有限制条件的间接平差。平差计算模型及精度评定公式，各种平差方法的概括及联系。（4）测量平差中的统计假设检验方法。1415Ch2误差分布与精度指标偶然误差的规律性1正态分布2精度及其衡量精度指标3本章总结及习题4162.1偶然误差的规律性基本假设：系统误差已消除，粗差不存在，即观测误差仅为随机误差。偶然误差：单个误差在误差大小及符号上没有明显的规律，表现出随机性，称为偶然误差。但对大量误差进行统计具有明显的规律。寻找偶然误差之规律性的方法(统计分析)：1、统计表2、直方图3、误差分布iiiLL~17统计表误差区间—△+△个数K频率K/n(K/n)/d△个数K频率K/n(K/n)/d△0.00~0.20450.1260.630460.1280.6400.20~0.40400.1120.560410.1150.5750.40~0.60330.0920.460330.0920.4600.60~0.80230.0640.320210.0590.2950.80~1.00170.0470.235160.0450.2251.00~1.20130.0360.180130.0360.1801.20~1.4060.0170.08550.0140.0701.40~1.6040.0110.05520.0060.0301.60000000和1810.5051770.495例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，三角形内角和应为180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。18(K/n)/d△00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差概率密度函数曲线面积=[(K/n)/d△]*d△=K/n所有面积之和=k1/n+k2/n+…..=1直方图192.1偶然误差的规律性偶然误差的特性由统计分析可以看出，偶然误差具有下列特性：1、有界性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，即超过一定限值的偶然误差出现的概率为零2、聚中性：绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大；3、对称性：绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同；4、抵偿性：偶然误差的理论平均值为零，即01lim1niiin202.1偶然误差的规律性例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。误差区间—△+△个数K频率K/n(K/n)/d△个数K频率K/n(K/n)/d△0.00~0.20400.0950.475460.0880.4400.20~0.40340.0810.405410.0850.4250.40~0.60310.0740.370330.0690.3450.60~0.80250.0590.295210.0640.3200.80~1.00200.0480.240160.0430.2151.00~1.20160.0380.190130.0400.200…………………….………………2.40~2.6010.0020.01020.0050.00252.60000000和2100.4992110.50121频数/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.630频数/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.475频数/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差提示：观测值定了其分布也就确定了，因此一组观测值对应相同的分布。不同的观测序列，分布不同。但其极限分布均是正态分布。图1图22222221)(efn频数/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差22221)(ef当偶然误差的个数时，偶然误差出现的频率就趋于稳定。此时，若把偶然误差区间的间隔无限缩小，则直方图将分别变为如图所示的两条光滑的曲线。232.2正态分布由概率论知，该曲线是正态分布的概率分布曲线。高斯在研究误差理论时最先使用了这一分布，所以正态分布又称为高斯分布。测量上通常将正态分布作为偶然误差的理论分布。或者说偶然误差服从正态分布。其密度函数为：式中：和为参数。,)(21exp21)(22f2.2正态分布24由密度函数知，偶然误差为正态随机变量。所以又称偶然误差为随机误差。下面来看参数和是什么。对正态随机变量求数学期望：,)(21exp21)(22fddfE22)(21exp21)()(2.2正态分布25作变量代换，令得因tdttdtttdtttE22221exp221exp221exp)(21)(221exp,021exp22dttdttt2.2正态分布262.2正态分布所以再求的方差。同样作变量代换，可得：22)(E)(DddfED2222)(21exp)(21)())(()(2222)(D27由以上推导知，参数和分别是随机误差的数学期望和方差。它们确定了正态分布曲线的形状。由知，随机误差的数学期望等于零。由正态分布知，正态分布曲线具有两个拐点，这两个拐点在横轴上的坐标为方差的几何意义是：方差是正态分布曲线的拐点横坐标。01lim)(1niinnE拐282.2正态分布2.3精度及其衡量精度指标观测值的质量取决于观测误差（偶然误差、系统误差、粗差）的大小。1、精度：指误差分布的密集或离散程度，可利用方差协方差阵描述。2、准确度：描述系统误差和粗差，可用观测值的真值与观测值的数学期望之差来描述，即：3、精确度：是精度和准确度的合成，描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，精确度可用观测值的均方误差来描述，即：当，即观测值中不存在系统误差和粗差时，亦即观测值中只存在偶然误差时，均方误差就等于方差，此时精确度就是精度。)(~LEL222)~)(()~()(LLELLELMSELLLE~)(29精度、准确度和精确度的形象描述2.3精度及其衡量精度指标30精度准确度精确度4、衡量精度的指标精度虽然可以通过直方图或分布曲线的形状来描述，但在实际工作中很麻烦，且不能用一个数字来衡量其高低。为此，人们希望通过一个数字来反映偶然误差的离散程度。能反映偶然误差的离散程度的数字称为衡量精度的指标。这样的数字很多，比如：4.1、方差和中误差设在相同的观测条件下得到一组独立观测误差，则其方差定义为：ndfEDniin12222lim)()()(i2.3精度及其衡量精度指标312.3精度及其衡量精度指标方差的算术平方根定义为中误差，即在实际工作中，n总是有限的，由有限个观测值的真误差只能求得方差和中误差的估值：和nniin12limnnii12ˆnnii122ˆ324.2、平均误差设在相同的观测条件下得到一组独立观测误差，则其平均误差由之绝对的数学期望定义，即：因为所以2.3精度及其衡量精度指标iindfEniin1lim)()(dfdf)(2)(0547979.0245253.1233由上式知，不同的，对应着不同的，于是就对应着不同的误差分布曲线。所以平均误差也可作为衡量精度的指标。在实际工作中，既可通过以上等量关系来计算平均误差的估值：也可由下式计算之：2.3精度及其衡量精度指标nnii1ˆnnii1254ˆ54ˆ344.3、或然误差当观测误差出现在之间的概率等于二分之一时，称为或然