柯西施瓦茨不等式的四种不同形式的内在联系

分类号（宋体小三加黑）论文选题类型UDC编号本科毕业论文（设计）（黑体小初）（宋体小一加黑）题目（宋体小二加黑）学院（宋体小三加黑）专业年级学生姓名学号指导教师二○年月（宋体三号加黑）华中师范大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。学位论文作者签名：日期：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保障、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关学位论文管理部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权省级优秀学士学位论文评选机构将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。本学位论文属于1、保密□，在_____年解密后适用本授权书。2、不保密□。（请在以上相应方框内打“√”）学位论文作者签名：日期：年月日导师签名：日期：年月日目录内容摘要............................................................1关键词..............................................................1Abstract............................................................1Keywords............................................................11.Cauchy-Schwarz不等式的简介.......................................22.Cauchy-Schwarz不等式的四种形式...................................22.1实数域中的Cauchy-Schwarz不等式..............................22.1.1定理...................................................22.1.2应用...................................................32.1.2.1用于证明不等式...................................32.1.2.2用于求最值.......................................32.1.2.3用于解方程组.....................................42.1.2.4用于解三角形相关问题..............................42.2.n维欧氏空间中的Cauchy-Schwarz不等式........................52.2.1定理...................................................52.2.2应用...................................................62.2.2.1用于证明不等式...................................62.2.2.2用于求最值...........................................62.2.2.3用于证明三维空间中点到面的距离公式...............72.3数学分析中的Cauchy-Schwarz不等式............................72.3.1定理...................................................72.3.1.1定理（积分学中的柯西—施瓦茨不等式）..............72.3.1.2定理（数项级数的柯西—施瓦茨不等式）.............92.3.2应用..................................................102.3.2.1用于证明不等式..................................102.4概率空间中的Cauchy-Schwarz不等式...........................102.4.1定理..................................................102.4.2应用..................................................112.4.2.1用于研究两个随机变量的相关系数..................112.4.2.2用于求方程的系数.................................122.4.2.3用于判断极值是否存在............................133．Cauchy-Schwarz不等式四种形式的内在联系.........................133.1证明方法的相似性............................................133.2内在之间的互推性............................................143.3四种形式的本质.............................................15参考文献...........................................................16内容摘要：本文介绍了柯西施瓦茨不等式在实数域、n维欧式空间、数学分析、概率空间四个不同分支的表现形式，并简单说明了其在各个领域内的应用，主要包括证明不等式、求最值，解三角形的相关问题，解方程组，研究概率论中的相关系数、判断极值的存在性。此外，本文还给出了柯西施瓦茨不等式的四种不同形式的内在联系。关键词：柯西施瓦茨不等式应用内在联系Abstract:Inthispaper,thefourdifferentformsofCauchy-Schwarz-inequalityarefirstlyintroduced.Thefourdifferentformsincluderealnumberfield,ndimensionalEuclideanspace,mathematicalanalysis,probabilityspace.Thenitsapplicationsareshowed,whichincludeprovingtheinequality,findingasolutiontothemaximumvalueandminimumvalueofafunctionorequations,solvingtriangle,studyingthecorrelationcoefficientontheprobabilitytheory,determiningtheexistenceofextremevalue.Inaddition,thispaperalsogivestheinternalrelationsofthefourdifferentformsofCauchy-Schwarz-inequality.Keywords:Cauchy-Schwarz-inequalityapplicationinternal-relations1.Cauchy-Schwarz不等式的简介柯西施瓦茨不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。数学上，柯西—施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西—布尼亚科夫斯基—施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西施瓦茨不等式是一条很多场合都用得上的不等式，例如证明不等式、求函数最值、线性代数的矢量，研究三角形的相关问题，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差，求方程系数，判断极值的存在性。2.Cauchy-Schwarz不等式的四种形式2.1实数域中的Cauchy-Schwarz不等式2.1.1定理设,(1,2,iiabRi…，n），则222111().nnniiiiiiiabab当且仅当1212=nnbbbaaa…时，不等式等号成立.证明：通过构造关于x的二次函数来证明设22221111()()()+2().nnnniiiiiiiiiifxaxbaxabxb若210,niia即120naaa…=时，显然不等式成立.若210niia时，则有2221122()()()()0nnfxaxbaxbaxb…且210,niia由于()0fx成立，所以222111[2()]4()()0.nnniiiiiiiabab且当且仅当1212=nnbbbaaa…时，不等式等号成立.故222111().nnniiiiiiiabab2.1.2应用在中学数学和竞赛数学中常常巧妙地应用柯西—施瓦茨不等式（即Cauchy-Schwarz不等式）将许多繁琐复杂的问题简单化，比如常常用于求证不等式、最值、解方程组和解三角形的相关问题，而运用柯西施瓦茨不等式的关键在于根据问题的要求并按照其形式，巧妙地构造两组数。2.1.2.1用于证明不等式例1．已知12,,naaa…，都是正数，求证：21212111()().nnaaanaaa……证明：根据柯西—施瓦茨不等式的形式构造两个数组：12,,,,naaa…12111,,,,naaa…利用柯西施瓦茨不等式有22211111()[()][()],nnniiiiiiiaaaa即21111(1)()().nnniiiiiaa所以21212111()().nnaaanaaa……2.1.2.2用于求最值例2.已知21,xyz求2223xyz的最小值.解：根据柯西—施瓦茨不等式的形式构造两个数组：222,(3),xyz和22212,(),13则有22222221[(3)][2()1](2)1,3xyzxyz即222222163(3)13316xyzxyz所以2223xyz的最小值316.2.1.2.3用于解方程组例3.在实数范围内解方程组22229346229234xyzxyz解：由柯西施瓦茨不等式知22222222246(23)(9812)[(2)(3)][(3)()()]23xyzxyz2229(346)()2xyz所以2222229(346)(29/2)2923.49812294xyzxyz当且仅当2332223xyz时等号成立，并将其与293462xyz联立解方程组可得：3211xyz2.1.2.4用于解三角形相关问题例4.设,,abc分别为三角形三边，其对应的高分别为,,,abchhhr为三角形外切圆半径，且满足9rabchhh，试确定三角形的形状.解：设三角形的面积为S，则2,2(),abcSahbhchSrabc故9rabchhh1111112()()()9Srabcrabcabc等号当且仅当abc时成立，因此，此三角形为等边三角形。2.2.n维欧氏空间中的Cauchy-Schwarz不等式2.2.1定理[1]在n维欧氏空间中，对任意向量,有2,,,,其中等号当且仅当,