初等数学研究(九)尺规作图

1一、尺规作图基础(简介)尺规作图的历史已经很悠久了!第九讲2何谓几何作图假设给定了一些条件，要求使用规定的工具作出具备这些条件的图形，便是作图问题。运用已知条件，按照一定方法，把作图题所求作的图形作出的过程，叫做解作图题。一、几何作图的要求与意义3二、尺规作图•1．尺规作图限用无刻度的直尺和圆规两件工具，经过有限次手续，可以完成的作图，称为尺规作图。或者初等几何作图。•传统尺规作图工具传统初等几何作图问题，限用的工具是直尺和圆规，并假设直尺直而且长，但上面无刻度；圆规则两腿足够长且开闭自如。42．作图公法在初等几何里约定，利用直尺和圆规可以并且只能完成下列三种简单作图，用以限定作图工具的功能，尺规作图的可能范围是：(1)通过已知两点可以作一条直线(欧几里得五公设之一)；(2)以已知点为圆心，以已知距离为半径，可以作一个圆(也是欧几里得五公设之一)；(3)作两已知直线，或一已知直线与一圆，或两已知圆的交点(在相交的情况下)。以上三种简单作图称为作图公法。53.尺规作图不能问题请问老师，什么是尺规作图不能问题？就是仅用直尺和圆规经有限次使用作图公法不能完成的作图，称为尺规作图不能问题或不可作图问题。6不过你要注意：尺规作图不能问题与该问题无解不是一回事。如，古希腊三大几何难题虽是尺规作图不能问题，但并非无解哟。74．尺规作图解题步骤(六步)(1)已知：将题设条件具体化，结合图形用字母表示已知；(2)求作：具体叙述所图形应满足的条件；(3)分析：假定图形已被作出，绘出草图，研究已知条件和求作图形的关系，得出作图的线索，判明所求图形应如何作出；(4)作法：依次叙述作图的过程(一般不要夹杂证明)(5)证明：论证按“作法”作出的图形符合条件；(6)讨论：说明求作的图形在什么情况下有一解、多解或无解。85．定位作图与活位作图如果求作的图形必须作在指定的位置，便叫做定位作图；如果求作的图形，只要求满足一定的条件，至于画在什么地方可以不计较，便叫做不定位作图(活位作图)。6．作图题解的个数(1)在定位作图中(2)在不定位作图中9•课程标准对“尺规作图”的要求：①完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线。②利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。③探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。④了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法(不要求证明)。10三、基本作图问题(作图成法)•基本作图问题，通常称为作图成法。是解决作图问题的基础，掌握它们之后，在解作图题时，象引用定理一样可直接使用，不必叙述本身的作图过程，减少解题阐述。11四、尺规作图的几种常用方法•1．交轨法；•2．三角形奠基法；•3.合同变换法；•4．位似变换法。121.交轨法在尺规作图中，通常归结为先确定某一主要点的位置，而一个点的确定一般应满足两个条件。舍去一个条件，则该点在满足另一个条件的点的轨迹上；舍去另一个条件，则该点又在满足这一个条件的点的轨迹上。于是同时满足两个条件的点应为两个轨迹的交点。用两个轨迹相交定点的作图方法，称为轨迹交接(割)法，简称交轨法。13交轨法举例：例1．求作与定⊙O相切于定点M，又与定直线l相切的圆。(如图)·OO′·lAM·已知：⊙O及其上一定点M，定直线l；求作：⊙O′与⊙O相切于M点，且与l相切。本例还要注意讨论事项。142．三角形奠基法在尺规作图中，如果求作图形可归结为先作出某个三角形奠定全部图形的基础，然后，在此基础上作出图形中的其余部分，那么这个作为基础的三角形就称为基础三角形，这种作图方法称为三角形奠基法。15例4.已知△ABC发自同一顶点的高、中线、平分角线ha、ma、ta的长，求作这三角形。ABCMmaTtahaHtamaha16ABCMmaTtahaHO··P分析：设△ABC已作出，高AH＝ha，中线AM＝ma，角平分线AT＝ta，(如上图)Rt△AHT和Rt△AHM都有两边已知，所以都可以作出。tamaha17讨论：•(1)当ha、ma、ta三者有两个相等时，△ABC应为等腰三角形。这时若三者不都相等，便无解，若都相等，便成不定问题，即有无穷多解；•(2)当ha、ma、ta三者互不相等时，要解答存在，首选要能作出△AHM，其次要能作出P点并且P和A还要落在HM的异侧，B、C才能存在。要保证这些事项，就非得T介于H和M之间。总之，当互不相等时，有解的条件是：ha＜ta＜ma当这些条件满足时有一解。183.合同变换法在尺规作图中，利用平移、旋转、反射以及它们相继使用，把图形的一部分移到某些特定位置上，构成作图条件，完成作图。这种作图方法称为合同变换法。194．位似变换法在尺规作图中，当所求图形直接作图不太方便时，可以先在适当的位置作出所求作图形的相似形，然后应用位似变换，以放大或缩小，得所求作图形，这种作图方法称为位似变换法。20五、正多边形的尺规作图据说，早在古希腊时代，人们就已经解决了3、4、5、6、8、10、12、15…等正多边形的作图问题。是吗？那我们还真得好好研究研究!21六、几何作图不能问题古希腊的三大尺规作图不能问题①三等分任意角问题看，有些几何作图不能问题并非无解。②化圆为方问题③立方倍积问题22小结尺规作图是初等几何学习中过程中不可缺少的一种作图方法，自然是一位中学教师应了解和学习的内容之一。23二、关于投影与视图242005年安徽省美术加试题25课程标准以“视图与投影”的要求：①会画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图(主视图、左视图、俯视图)，会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型。②了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。③了解基本几何体与其三视图、展开图(球除外)之间的关系；通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用(如物体的包装)。④观察与现实生活有关的图片(如照片、简单的模型图、平面图、地图等)，了解并欣赏一些有趣的图形(如雪花曲线、莫比乌斯带)。⑤通过背景丰富的实例，知道物体的阴影是怎么形成的，并能根据光线的方向辨认实物的阴影(如在阳光或灯泡下，观察手的阴影或人的身影)。⑥了解视点、视角及盲区的涵义，并能在简单的平面图和立体图中表示。⑦通过实例了解中心投影和平行投影。26一、图样的要求1.明显性：明显地、全面地反映所表达的空间物体的原形，直观，使人一目了然；2.可量性：能够准确地、详细地反映所表达的空间物体的大小尺寸、比例等；3.可解性：图样分成的各个部分(点、线、面、圆等)，能较好地表达物体的结构形式，解决空间物体几何元素的定位、定量问题，反映出制造该物体的技术要求等内容。27二、投影法的基本概念•几个概念：蓄投影中心(S)、投影面(P)、投影点(A)、投影线(SA)A′B′C′A·BCS·P28三、投影法的分类•1.中心投影法(见上页图)•2.平行投影法正投影法斜投影法PPABCABCA′B′C′FA′B′C′F29四、平行投影的基本性质•平行投影的基本特性是：1.点的投影仍是点2.直线的投影一般仍是直线，仅当直线平行于投影方向时，直线的投影是点。FA·C·B··B·C·AP30•3.直线上的点的投影仍在直线上，且分某线段所成两线段长度之比等于它们的投影长度之比FA·C·B··B·C·AP314.两平行直线的投影仍平行，且两线段长度之比等于它们的投影长度之比PA·B·D·C··B·A·D·CF32•5.当线段和平面图形平行于投影面P时，它们的投影反映线段的实长和平面图形的真形PCDEFC′D′E′·A′·B′B·A·33PB··A6.当直线、平面、柱面平行于投影方向时，它们投影具有积聚性(图15－132)积聚性――当直线、平面、柱面平行于投影方向时，在投影面P上直线投影成点，平面、柱面投影成线(直线或曲线)的性质。F34P不同的物体在同一投影面上的投影可能相同•因此，要用平行投影完全确定一个物体的形状，就必须采用一定的方法来加以补充，这些方法就是轴测投影(直观图)和正投影三视图。35五、轴测投影图(直观图)本内容在高中立体几何及高等几何中均已详细学习，关键是抓住在斜二测及正等测画图中，Ox、Oy、Oz各轴之间的夹角和各轴上线段的长度与实长之比。(在此不赘述)36六、正投影三视图•1.空间投影面水平投影面(H)、正立投影面(V)、侧立投影面(W)WVH37移去物体后：在H面上的正投影叫做俯视图(水平投影)在V面上的正投影叫做主视图(正面投影)在W面上的正投影叫做左视图(侧面投影)主视图、俯视图、左视图合起来称为正投影三视图。简称为视图。WVH2.三视图38三视图所反映物体的有关尺寸•①俯视图反映了物体的顶面形状和长、宽两个方向的尺寸；WVH长宽长宽高高②主视图反映了物体的正面形状和高、长两个方向的尺寸；③左视图反映了物体的侧面形状和宽、高两个方向的尺寸。393.三视图画法由于三视图只能画在同一张纸上，所以三投影面需转化为一个面。规定：V面不动，H面向下旋转90°，W面向右旋转90°，这样一来，H面和W面就同V面重合成一个平面。WVHWVHWVHHVWHWVWVHVWHVWH40WVHWVHWVHHVWHWVWVHVWHVWH再看一下这个展示的过程41作三视图的基本法则和要求：•三视图中，主视图与左视图同高；主视图与俯视图同长；俯视图与左视图同宽。因此，画图时，图与图之间有时用虚线相连.主视图俯视图左视图高宽宽长42七、组合体三视图的画法•1.何谓组合体•组合体――由简单体(棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、棱台、圆台、球缺、球体等)组成的一些几何体。432.组合体三视图的画法三视图画图原则先画主视图，在其下画俯视图，其左画左视图。并要求：长对正，高平齐，宽相等。44P积木三视图画法示例大家先动手画它的主、俯、左视图。45VWHP46人们在实践中，采用体形分析法。对组合体进行识图的方法步骤是：抓主视，看大致；分部分，想形状。对线条，找关系；合起来，想整体。［请参看前图积木画图示例］3.组合体的识图概要47八、画三视图的基本知识要求•1.字体：•2.比例：•3.线条：•4.尺寸：•5.工具：48课外作业：想一想下列三视图所表示的实物。下周师范技能实践课,继续试讲。491．已知一锐角及两直角边的和，求作直角三角形。2．什么叫三视图？它们都分别反映了空间我们的什么？它们之间的联系是什么？3．画出一个铆钉物体的三视图(如图1)。4．设一四棱台的主、俯视图如图2所示，试写出此四棱台的12条棱长。作业：图14531.52图2