2.3.4平面向量共线的坐标表示 课件(人教A版必修4)(1)

自学导引1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当且仅当_________________时，a∥b.2．设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则线段P1P2的中点P的坐标是_________________．x1y2－x2y1＝0x1＋x22，y1＋y22自主探究设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如果P1P→＝λPP2→，如何求P点的坐标？解：设P(x，y)，则由P1P→＝λPP2→得，(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，于是x－x1＝λx2－x，y－y1＝λy2－y，解得x＝x1＋λx21＋λ，y＝y1＋λy21＋λ.即P点的坐标为x1＋λx21＋λ，y1＋λy21＋λ.预习测评1．如果向量a＝(k,1)，b＝(4，k)共线且反向，则k＝()A．±2B．－2C．2D．0【答案】B2．若三点A(2,3)，B(3，a)，C(4，b)共线，则有()A．a＝3，b＝－5B．a－b＋1＝0C．2a－b＝3D．a－2b＝0【答案】C3．设a＝32，22，b＝sinα，13，且a∥b，则锐角α＝________.4．(2013年济南二模)若向量a=(-2,3),b=(4,m),a∥b,则实数m=________.【答案】45°【答案】－6要点阐释1．描述两向量共线有下列三种方法：①若非零向量a与b共线，则存在唯一实数λ，b＝λa.这是几何表示法；②设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则当a与b共线时，x1y2－x2y1＝0.这是代数表示方法；③设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则当a与b共线时，x1x2＝y1y2(x2y2≠0)．这是比例形式．2．设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则满足P1P→＝λPP2→(λ≠－1)的点P的坐标是Px1＋λx21＋λ，y1＋λy21＋λ.当P为P1P2的中点时，λ＝1，点P的坐标是Px1＋x22，y1＋y22.典例剖析知识点1求参数的值【例1】已知向量OA→＝(k,12)，OB→＝(4,5)，OC＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？思路点拨：用坐标表示出向量共线的条件，得到关于k的方程，解之即得．解：由已知得，BA→＝OA→－OB→＝(k－4,7)，BC→＝(6，k－5)，当A、B、C三点共线时，向量BA→，BC→平行，所以(k－4)(k－5)－7×6＝0，即k2－9k－22＝0，解得k＝11或k＝－2.故k＝11或k＝－2时，A，B，C三点共线．1．已知a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋b与a－2b平行，求m的值．解：由已知得，ma＋b＝(2m－1,3m＋2)，a－2b＝(4，－1)，于是由ma＋b与a－2b平行可得，(2m－1)×(－1)－(3m＋2)×4＝0，即－14m－7＝0，得m＝－12.知识点2求点的坐标【例2】已知A(6,0)，B(－1，－1)，C(0,3)，O为坐标原点，求OB与AC的交点P的坐标．思路点拨：利用O，B，P共线，A，C，P共线求解．解：因为点P在OB上，所以可设OP→＝λOB→＝(－λ，－λ)．于是PA→＝(6＋λ，λ)，PC→＝(λ，3＋λ)．由于A，P，C在同一直线上，所以PA→，PC→共线．得到(6＋λ)·(3＋λ)－λ2＝0，解得λ＝－2.故OP→＝(2,2)，即P的坐标为(2,2)．2．已知A(－1，－3)，B(1,1)，求直线AB与直线x＋y－5＝0的交点C的坐标．【答案】点C的坐标为(2,3)知识点3共线向量性质的综合应用【例3】已知三角形的顶点A，B，C的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，求该三角形重心G的坐标．思路点拨：三角形的重心是三条中线的交点．解：延长CG交AB于D，则由中点坐标公式得D点的坐标为Dx1＋x22，y1＋y22，再由CG＝2GD得，CG→＝2GD→，设G点的坐标为G(x，y)，则(x－x3，y－y3)＝2x1＋x22－x，y1＋y22－y，即x－x3＝2x1＋x22－x，y－y3＝2y1＋y22－y，解得x＝x1＋x2＋x33，y＝y1＋y2＋y33.故所求三角形重心的坐标为Gx1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33.方法点评：本解答巧妙利用中点坐标公式和向量共线的性质求出了三角形重心坐标．这个结论可以作为公式使用．3．已知向量AB→＝(4,3)，AD→＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．若点P(2，y)使得PB→＝λBD→，求B，D，P的坐标．解：设B(m，n)，则由AB→＝(4,3)得，(m＋1，n＋2)＝(4,3)，解得m＝3，n＝1，即B点的坐标为B(3,1)．设D点的坐标为D(p，q)，则由AD→＝(－3，－1)得，(p＋1，q＋2)＝(－3，－1)，解得p＝－4，q＝－3，即D点的坐标为D(－4，－3)．再由PB→＝λBD→得，(3－2，1－y)＝λ(－4－3，－3－1)，解得λ＝－17，y＝37.故P点的坐标为P2，37.误区解密考虑不全面而出错【例题】若向量a＝(－1，x)与b＝(－x,2)共线，求x.错解：∵a，b共线，∴(－1)×2－x(－x)＝0，得x＝－2(舍去)或x＝2，故x＝2为所求．错因分析：舍去x＝－2没有道理．正解：∵a，b共线，∴(－1)×2－x(－x)＝0，得x＝±2，而x＝2时，a＝(－1，2)，b＝(－2，2)＝2(－1，2)＝2a，此时a，b同向共线；x＝－2时，b＝－2a，此时a，b异向共线．故x＝±2为所求．纠错心得：共线的两个向量可以是同向共线，也可以是反向共线．解答这类试题时，要认真审题，对求得的参数需进行讨论，舍去不合题意的参数值．课堂总结1．判断三点共线问题，可以转化为有公共点的两个向量共线．2．零向量的坐标为(0,0)，它与平面内其他任何向量共线.