3.1.3导数的几何意义

2020/6/193.1.3导数的几何意义2020/6/19先来复习导数的概念定义：00000()()()limlim.xxfxxfxyfxxx2020/6/19练习：)(,)('2xfxxf求已知xxf2)('2020/6/19下面来看导数的几何意义:βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角..tan,,:xyyMQxMP则yx请问：是割线PQ的什么?斜率!2020/6/19PQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.2020/6/19我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:'00000()()()limlimxxfxxfxykfxxx切线这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.2020/6/19例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx.2)(2lim)11(1)1(lim)()(lim:2020000xxxxxxxfxxfkxxx解因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.2020/6/19求切线方程的一般步骤：)(3)(2,1000'00xxkyyxfkyxP）点斜式（）斜率（）（）切点（2020/6/19）的切线方程在点（求双曲线例212,12xy14141xyk切线方程2020/6/19的切线方程过点求抛物线例)6,25(32xy9644xyxy或2020/6/19小结：导数的几何意义求切线方程的一般步骤