67第一届至第六届周培源大学生力学竞赛初赛试题及答案

第六届周培源全国大学生力学竞赛样题第6届周培源全国大学生力学竞赛初赛（样题）时间3小时，满分120分一、奇怪的独木桥（25分）一位游客在某处发现有座独木桥，上面写着：禁止独自一人过桥。他发现当地居民的确都是成双结队并且好像以某种相互配合的方式过桥。他觉得很奇怪，为什么2个人可以过桥而1个人却不能。等周围没有其它人时他想独自试试，结果没走到半程，就把独木桥压断了而掉入水中。根据事后他的调查，小河宽4米，独木桥长6米，如图1所示横跨在小河上（支撑点可以认为是铰链约束）。独木桥采用当地的轻质木材做成，等截面，允许最大弯矩为[]600NmM=⋅。为方便假设每人的体重均为800N，而独木桥的重量不计。请你分析一下：（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）如果一个人想过桥，最多能走多远？（3）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两人应如何配合才能安全过桥？图1奇怪的独木桥二、模特儿与新型舞台（35分）有位模特儿在一种新型舞台上练习走台步。该舞台类似长方形桌子，长为，宽为，有6条等长的桌腿（图2）。每条桌腿都与水平地面有接触开关，如果接触处有压力就会使对应的一盏灯亮起来。该模特儿发现，站到舞台不同的位置会有不同数目的灯亮起来，如图2，她站在舞台右上角附近时，左下角的灯就不亮。2aa如果把模特儿的重量认为是集中载荷，把舞台认为是刚体且不计质量，则（1）本问题与力学中的什么内容有关系？1第六届周培源全国大学生力学竞赛样题（2）如果模特儿站在舞台的正中央，会有几盏灯亮起来？（3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为6、5、4、3、2、1）。aaaaaaaa图2模特儿的新舞台三、魔术师的表演（25分）魔术师要表演一个节目。其中一个道具是边长为的不透明立方体箱子，质量为a1M；另一个道具是长为L的均质刚性板AB，质量为2M，可绕光滑的A铰转动；最后一个道具是半径为R的刚性球，质量为3M，放在刚性的水平面上。魔术师首先把刚性板AB水平放置在圆球上，板和圆球都可以保持平衡，且圆心O和接触点B的连线与垂线夹角为ϕ。然后魔术师又把箱子固定在AB板的中间位置，系统仍可以保持平衡，如图3所示。魔术师用魔棒轻轻向右推了一下圆球，竟然轻易地就把圆球推开了。更令人惊讶的是，当圆球离开AB板后，AB板及其箱子仍能在水平位置保持平衡。ABoϕABoϕ图3魔术师的箱子2第六届周培源全国大学生力学竞赛样题（1）为什么在AB板上加很重的箱子不会把圆球挤压出去，而魔术师用很小的力却可以推开圆球？这其中涉及了什么力学内容？（2）根据上述介绍，你能否求出AB板与圆球之间的摩擦系数要满足什么关系？（3）AB板只在A处受支撑却仍能在水平位置保持平衡。魔术师让观众来检查，证明这时平板有且只有A点与地面接触，排除了看不见的支撑或悬挂等情况。你认为这可能吗？请指出其中可能涉及的奥秘，并分析其中可能涉及的参数。四、出人意料的交线（35分）设Oxy是固定坐标系。系统由三根不计半径的细杆构成，初始时刻CD杆沿轴；OB杆长为，沿zzax轴正方向；AB杆长为l，开始时先与轴平行，绕zx轴负方向转动β角后，把这三根杆件焊成一个整体，如图4所示。假设在平面内有一张纸存在，为了能让系统持续地绕轴以匀角速度yzzω转动，需要在纸上挖出某种形状的空隙让AB杆通过（这里只考虑AB杆）。（1）如果，求空隙的函数表达式0a=0Γ，并画出示意图。（2）如果，求空隙的函数表达式0aaΓ，并画出示意图。0Γ与aΓ有何关系？（3）当时，设点是0aPAB杆与yz平面的交点，当点位于PAB杆中点且时，如果要求点的速度和加速度，你如何考虑？取0PyP1ma=，4ml=，16πβ=，1rad/sω=，速度和加速度是多少？xyzOABCDβxyzOABCDβ图4初始时刻的系统位置3第六届周培源全国大学生力学竞赛样题第6届周培源全国大学生力学竞赛初赛样题解答一、奇怪的独木桥（1）本问题与力学中的什么内容有关系？关键词：梁的弯曲、弯矩。（2）如果一个人想过桥，最多能走多远？该问题简化为下图，设人从B向A走去，载荷P与B点距离为x，AB间的距离为L。PBAxPBAx易求出支座B点的约束力为()/BRPLxL=−则AB间最大弯矩为()()/MxPLxxL=−根据允许最大弯矩为[]600NmM=⋅，有()/[PLxxLM]−≤代入数据，解出1x≤，3x≥即一个人最远可以向前走1米（另一解略去）。（3）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两人应如何配合才能安全过桥？PBAPx1x2M1M2PBAPx1x2M1M24第六届周培源全国大学生力学竞赛样题若两人同时上桥，一人在右侧外伸段距右端支座为处，另一个人在桥上，行至离左端支座处，其弯矩如图所示。这时支座的反力为1x2x()LxxLPRA/21−−=，()12/BRPLxx=++L弯矩极大值为11PxM=，()LxxxLPM2212−−=欲要安全通过，要求，[MM≤1][]MM≤2，代如数据得()0342122≥+−−xxx欲使上式恒成立，则需()012421≤−−x解得46.7536.01≤≤x考虑到，得[MM≤1]mx75.01≤所以当一个人立于右侧外伸段离右支座的距离为()m75.0536.0−之间时，另一人可安全通过独木桥。通过独木桥的人再立于左外伸段离左支座距离为()m75.0536.0−之间，另一个人亦可安全通过。（本题改写自：周道祥，《力学与实践》小问题第120题，1986，No.3）二、模特儿与新型舞台（1）本问题与力学中的什么内容有关系？关键词：受力平衡，变形的协调条件。（2）如果模特儿站在舞台的正中央，会有几盏灯亮起来？利用对称性及反证法。设坐标系及各灯的标号如下。由于结构与载荷对称，如果1灯不亮，则根据左右（y轴）对称，3灯也不会亮。又根据上下（x轴）对称，4灯和6灯不亮。所以1、3、4、6灯的状态总是相同的，而2与5灯的状态也相同。灯亮表示对应的桌腿受压，长度变短，而灯不亮表示对应的桌腿不受压，长度不变。如果假设有部分灯亮，另一部分灯不亮，就会引起矛盾。因此六盏灯全亮。5第六届周培源全国大学生力学竞赛样题123456xyo123456xyo（3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为6、5、4、3、2、1）。123456xyoA(x,y)BCDEFGHI六五四四三123456xyo123456xyoA(x,y)BCDEFGHI六五四四三设模特儿重量为P，所在A点的坐标为()yx,。由于灯亮等同于对应的桌腿是否受压，下面就分析桌腿的受力。（a）设六条腿的受力分别是)6,,1(L=iNi，有平衡方程(1)PNii=∑=61()()aNNPxaNN6341+=++(2)()()22654321aNNNPyaNNN++=+++(3)由刚性桌面变形协调条件，可得三个方程，比如可以列出5362NNNN+=+(4)4251NNNN+=+(5)5642NNN=+(6)6第六届周培源全国大学生力学竞赛样题解上述六个方程，由于桌腿不能提供拉力，令，得到不等式0(1,,6)iNi=L342xya±得到解的区域为菱形BCHI（不含边界），其中B点坐标为2,03a⎛⎞⎜⎟⎝⎠。下面设模特儿位于桌面第一象，限讨论其他几种情形。（b）五腿受力，设腿1不受力，令01=N，舍去方程(5)，求得均自然满足，根据得0,0,0653≥≥≥NNN240,0NN32xya0−++263xya0−−+这两个不等式，加上BC，即得五腿受力区为三角形BCD（包含BC，但不包含边界BD和CD），其中D点坐标为31,44aa⎛⎞⎜⎟⎝⎠。（c）四腿受力有两种情况，第一种情况是2、3、5、6腿受力。舍去方程(5)、(6)，并令，再令，得041==NN20N0xya−−+即知三角形BDF为四腿(2，3，5，6)受力区（包含BD，但不包含边界DF），其中F点的坐标为()。,0a四腿受力的第二种情况是3、4、5、6受力。舍去方程(4)、(5)，且令，令，得021==NN40N625xya0−−+即知三角形CDE为四腿(3,4,5,6)受力区（包含CD，但不包含边界DE），其中E点的坐标为21,32aa⎛⎞⎜⎟⎝⎠。（d）剩下的四边形DEGF为三腿(3,5,6)受力区。另外对于桌子的边界，CE表示亮三盏灯的区域（不含E点）。（e）如果要两盏灯亮，则是不稳定平衡。在第一象限内，两盏灯亮对应的区域是EG和GF边表示亮两盏灯的区域（不含G点）。7第六届周培源全国大学生力学竞赛样题（f）一盏灯亮对应的区域是G点。最后根据x轴和y轴的对称性，即可作出整个桌面的亮灯数目区域图。（本题改写自：陈嘉，《力学与实践》小问题第29题，1982，No.3；秦寿珪，《力学与实践》小问题第100题，1985，No.4）三、魔术师的表演（1）为什么在AB板上加很重的箱子圆球不会被挤压出去，而魔术师用很小的力却可以推开圆球？这其中涉及了什么力学内容？关键词：摩擦，自锁。当AB板压在圆球上时，圆球在自重，地面反力和B处反力作用下平衡。这时圆球处于摩擦自锁，再增加箱子不破坏圆球的平衡条件。但是魔术师用水平力推圆球时，这时圆球从受三个力变为受四个力。如果摩擦力已达最大值，水平力虽然很小，仍可破坏圆球的平衡。（2）根据上述介绍，你能否求出AB杆与圆球之间的摩擦系数要满足什么关系？利用三力平衡条件，圆球受力如图。BoϕCBRCRBoϕCBRCR利用几何法，有12OBCϕ∠=，由于BR要在摩擦角θ内，有()12tantanμθϕ=≥由于魔术师用很小的水平力就可以破坏圆球的平衡，所以BR要在摩擦角的边缘，因此()12tanμϕ=（3）AB板只在A处受支撑却仍能在水平位置保持平衡。魔术师让观众来检查，证明这时平板有且只有A点与地面接触，排除了看不见的支撑或悬挂等情况。你认为这可能吗？请指出其中可能涉及的奥秘，并分析其中可能涉及的参数。系统只有A铰而平衡，这从静力学角度是难以想象的，但是从动力学角度就可以实现。其中一种可能是：箱子中有一个转子，圆球离开时接通开关使圆轮加速转动。8第六届周培源全国大学生力学竞赛样题设飞轮转动惯量为，可在箱内电机驱动下以角加速度Jε顺时针转动。为说明问题，暂时设B处是铰链。用动静法，飞轮上作用有力矩soMJε=系统对点取矩，有A1122()sBMMgLMNL+⋅−−⋅=0可以看出，如果12()2MMgLJε+=B处的约束反力就为零（由于转子的转动与电流有关，而ε是常数，因此事先设计好电流的大小即可），这时撤去B处的约束不影响板的平衡。AB在表演魔术时，可以让B点与圆球接触时不通电，而圆球离开时通电。四、出人意料的交线（1）如果a，求空隙的函数表达式0=0Γ，并画出示意图。容易看出，时0a=AB杆在一个圆锥上运动，圆锥与平面的交线为yztanppyzβ=±（0Γ）[0,cos]pzlβ∈（2）如果a，求空隙的函数表达式0aΓ，并画出示意图。0Γ与aΓ有何关系？设AB与平面的交点是，yzPBP的长度为ξ。则根据几何关系，点的坐标为Pcospzξβ=，222sinpyaξβ=+消去参变量ξ，有222tanppyzaβ2−=（aΓ）9第六届周培源全国大学生力学竞赛样题[0,cos]pzlβ∈所以点的轨迹是抛物线（的一部分），这也就是空隙的方程。而曲线P0Γ是的渐进线。aΓoBAPCxyzβoBAPCxyzβ（3）当时，设点是0aPAB杆与平面的交点，当点位于yzPAB杆中点且时，如果要求点的速度和加速度，你如何考虑？如果取0PyP1ma=，4mL=，16πβ=，1rad/sω=，速度和加速度是多少？思路：采用点的复合运动关系，以为动点，杆为动系。相对运动沿杆，牵连运动作定轴转动，绝对运动是在PABAByz平面内的抛物线上运动。当为PAB杆中点时，设点的坐标为P(,,)PPPxyz，B点的坐标为(,,)B