41中科院量子力学超详细笔记 第一章 量子力学的物理基础

1第一章量子力学的物理基础§1.1，实验基础1,第一组实验——光的粒子性实验：黑体辐射、光电效应、Compton散射能量分立、辐射场量子化的概念，实验揭示了光的粒子性质。《黑体辐射谱问题》黑体辐射谱的Wien经验公式（1894年）：考虑黑体空腔中单位体积的辐射场，令其中频率在ννν→+d间的能量密度为dEdνενν=()，该公式可以明确地写为231()cdEdNdcedνβνννεννεννν−===(1.1)这里c1、c2是两个常系数，β=1/kT。此公式在短波长（高频率）区间内与实验符合，但在中、低频区，特别是低频区与实验差别很大。Rayleigh-Jeans公式（1900，Rayleigh；1905，Jeans）：将腔中黑体辐射场看成大量电磁波驻波振子集合，利用能量连续分布的经典观念和Maxwell-Boltzmann分布律，导出黑体辐射谱的另一个表达式——。若记ενενν()=N，这里Nν是腔中辐射场单位体积内频率ν附近单位频率间隔内电磁驻波振子数目（自由度数目），它为823πνc。下面来简单推算出它：00:222ikxikxxxLLeenkLnkkLLπππ==→==→=→Δ=于是，在单位体积辐射场中，波数在3kkdk→+vv内的自由度数目（22kccππνωλ===v）为22332233232312428882LkdkkdkdkddccLππννπννππππ=⋅====⎛⎞⎜⎟⎝⎠vvvv而εν是频率为ν的驻波振子的平均能量，由M-B分布律得kTdede==∫∫∞−∞−00εεεεεβεβν于是得到Rayleigh-Jeans公式dEdkTcdνεννπνν==()823(1.2)这个与Wien公式的正好相反，它在低频部分与实验曲线符合得很好，2但在高频波段不但不符合，出现黑体辐射能量密度随频率增大趋于无穷大的荒谬结果。这就是著名的所谓“紫外灾难”，是经典物理学最早显露的困难之一。1900年Planck用一种崭新的观念来计算平均能量εν。他引入了“能量子”的概念，即，假设黑体辐射空腔中振子的振动能量并不象经典理论所主张的那样和振幅平方成正比并呈连续变化，而是和振子的频率ν成正比并且只能取分立值，......,3,2,,0νννhhh这里的正比系数h就是后来所称的Planck常数。与此相应，腔中辐射场和温度为T的腔壁物质之间达到热平衡后，交换的能量也是这样一份份的。由此，按经典统计理论的麦-波分布律，与上述能级相对应的比例系数分别为......,,,,132νβνβνβhhheee−−−将这些系数归一化(除以这些系数的总和)使它们变成为权重系数，就得到对应频率ν的驻波振子的平均能量，[][][]000explnexpexpnnnnhnhnhnhνννβ∂ενβ∂βνβ∞∞=∞==−⎧⎫==−−⎨⎬⎩⎭−∑∑∑[]{}ln1exp1hhheνβ∂ννβ∂β=−−=−将这个平均能量εν乘以自由度数目，就得到下面Planck公式18)(33−=νβννπννεhedchd(1.3)显然，(1.3)式在高频和低频波段分别概括了Wien公式和Rayleigh-Jeans公式，体现了关于辐射谱峰值位置的Wien位移定律。总之，此公式在全波段范围内与实验曲线十分符合。这说明，在解释辐射场与腔壁物质相互作用的实验规律中，必须假定腔内电磁场和腔壁物质之间所交换的能量是断续的、一份一份的。即必须假定，对所有频率相应的能量都是量子化的。《光电效应问题》自1887年Hertz起，到1916年Millikan为止，光电效应的实验规律被逐步地揭示出来。其中，无法为经典物理学所理解的实验事实有：反向遏止电压(和逸出电子的最大动能成正比)和入射光强无关；反向遏止电压和入射光的频率呈线性关系；电子逸出相对于光的照射而言几乎无时间延迟。它们难于理解是因为，按经典观念，入射光的电磁场使金属表面电子3作强迫振动。入射光强度越大，强迫振动的振幅也就越大，逸出电子的动能也就越大。于是，反向遏止电压和入射光强度应当是正比关系，而且和入射光的频率无关。此外，自光照射时起，电子从受迫振动中积聚能量直至逸出金属表面，这需要一段时间，因为电子运动区域的横断面积很小，接受到的光能很有限，电子积聚到能逸出金属表面那样的动能需要一定的时间。然而，实验却表明，这个弛豫时间很短，它不大于109−秒。为了解决这些矛盾，1905年，Einstein在Planck的能量子概念基础上，再大胆地前进一步，提出了光量子概念，并指出光量子和电子碰撞并被电子吸收从而导致电子的逸出。他的光电效应方程是hmvν=+Φ0212max(1.4)这里Φ0是实验中所用金属的脱出功，比如，对Cs为1.9eV，对Pt为6.3eV。等式右边用了逸出电子的最大速度，那是因为有些电子在从金属表面逸出的过程（以及在空气传播的过程）中，可能因遭受碰撞而损失了部分动能。这样一来，不仅光场的能量是量子化的，而且光场本身就是量子化的，仿佛是一团“光子气”。光电效应显示，照射在金属表面的波场是一种微粒集合。沿着这一思路前进，人们甚至可以引入光子的“有效”质量m∗，即mchc∗==εν22于是，若在重力场中，一个光子垂直向上飞行了H距离，其频率要由原来的ν0减小为ν:hhhcgHννν02=+，从而νν0这说明垂直向上飞行的光子，其频率会产生红移1。这一现象在1960年由R.V.Pound和G.A.RebkaJr.在哈佛大学校园的水塔上实验观测到了。Einstein的光电方程被Millikan用10年时间的实验所证实。《Compton散射问题》在此稍后一点的时间（1923年），发现了Compton效应，更进一步证实了光量子的存在。在这个效应里，散射光的能量角分布完全遵从通常微粒碰撞所遵从的能量守恒和动量守恒定律。设初始电子是静止的，于是有⎪⎩⎪⎨⎧+′=′+=+.pchch,hmchcmvvvνννν2201这里，等式右边第二项在地球条件下比第一项小很多，所以作了一级近似计算。4将矢量方程右边chνv′项移到左边，平方之后利用第一个方程以及4204222cmcmcp−=v，就得到()()()()222242440022224240222coshhhmcmcmmchhhmcmcννννννννθ⎧′′+−=+−⎪⎨′′+−=−⎪⎩后者减前者，得()()()242422200002021cos2222hmmcmcmcmcmcmchννθνν′−=−=−′=−由此即得hhhmc′=+−νννθ1102(cos)(1.5)引入记号λchmc=0，称为电子的Compton波长，等于0.0242oA。上式改写为′−=−λλλθc(cos)1(1.6)这个公式已为实验所证实。可是这里推导中使用了光的粒子性以及散射光频率会改变（减小）等概念，这些都是经典物理学所无法理解的（比如说，经典观念就认为，电子在受迫振动下所发射的次波——散射光，其频率应和入射光的頻率相同）。总之，这一组实验揭示了，作为波动场的光其实也具有粒子性质的一面。2,第二组实验——粒子的波动性实验：电子Young双缝实验、电子在晶体表面的衍射实验以及中子在晶体上的衍射实验。这些实验表明，原先认为是粒子的这些微观客体，其实也具有波的性质，有时也呈现出只有波才具有的干涉、衍射现象。它们从实验上揭示了微粒的波动性质。电子Young双缝实验Feynman说：电子Young双缝实验是量子力学的心脏。1961年Jönsson用电子束做出了单缝、双缝衍射实验。由于电子的波长短，在这种实验中缝宽和缝距都要十分狭小，加之低能电子又容易被缝屏物质散射衰减，实验是很难做的。Jönsson在铜膜上刻了五条缝宽为03.μm、缝长50μm、缝距1μm的狭缝，分别用单、双、三、四、五条缝做了衍射实验。实验中电子的加速电5压为50keV，接受屏距离缝屏35cm。下面我们对双缝实验作些初步的概念性分析1。实验事实是，这时在接受屏x处探测到电子的几率Px()并不简单地等于两缝各自单独开启时的几率Px1()、Px2()之和，而是存在两缝相互影响的干涉项PxPxPx()()()=++12干涉项这一干涉项可正可负，随x迅速变化，从而使Px()呈现明暗相间的干涉条纹。如果通过缝屏的是光波、声波，出现这种干涉项是很自然的。因为在x处的总波幅ψ()x是由孔1、孔2同时传播过来的波幅ψ1()x、ψ2()x之和ψψψ()()()xxx=+12而Pxx112()()=ψ、Pxx222()()=ψ，并且Pxxxx()()()()==+ψψψ2122))()(Re(2)()(2*121xxxPxPψψ++=(1.7)对光场这好理解，但现在是电子，从经典粒子的观念来理解，这个干涉项的存在令人十分困惑。人们在实验中常常把电子理解为经典概念中的“粒子”。这是因为人们在实验中探测到电子的时候，它总是有一定的能量、有一个静止质量，特别是，有一个相当局域的位置！正是这些给人们以电子是“粒子”的印象。何况，人们从未探测到“一部分”的电子。按这种将电子看作一个弹丸“粒子”的经典观念，将完全无法理解电子Young双缝实验的干涉现象：如果电子是以粒子的“身份”通过狭缝的话，无论通过的是哪一条缝，总是只能穿过其中的一条，这时另一条缝的存在与否对这个电子的穿过行为并不产生影响。两条缝的作用就应当是相互独立、互不干扰的，干涉项并不存在，结果是两个单缝衍射强度的叠加！也不可以说电子是以“经典粒子”的身份、以某种古怪的方式同时（！）从两条缝通过（比如，一半电子从缝1，另一半从缝2同时穿过；或是转圈返复穿过两条缝等等）。前者显然和人们从未观测到过一部分电子这个事实相违背。后者也是金庸的“匪夷所思”！到此，事情的复杂性还没完！因为，可以设想如下实验（“whichway”实验的一种）2：在一条缝后放置一个照明光源，若光源足够强，1电子Young双缝实验是最富于量子力学味道也是最奇特的实验之一。关于这个实验的各种翻版，直到现在仍不断出现；关于它的严格计算可见费曼，量子力学与路径积分；一个唯象计算可见，张永德，大学物理，第11卷，第9期，1992。2R.P.Feynman，A.R.Hibbs，QuantumMechanicsandPathIntegrals，McGraw-HillBookCompany，1965。6可以假定光子和电子的散射效率接近百分之百，于是穿过该缝出来的电子必定同时伴随有散射光子。探测有无散射光产生，原则上就可以判断该电子是从哪条缝过来的。结果很意外：每个电子都只穿过一条缝，从未观察到某个电子从两条缝同时穿过的情况，正如同从未观察到半个电子一样。总之，对电子Young双缝实验的解释似乎陷入了两难的境地！那么，电子到底是怎样穿过缝屏上这两条缝的呢?正确答案：可以明确地说，电子是以“自己独特”方式“同时”穿过两条缝的。这是基于全部实验事实，经分析所能得到的、无可回避的、唯一逻辑自洽的说法！这里所说的“自己独特”方式是因为：这种方式既根本不同于经典粒子通过方式，也不完全相同于经典波的通过方式。和经典波的方式“不完全相同”是由于，电子可以在其传播途径上的任一点(包括在缝前、缝中、缝后、接受屏等各处)以一定的几率被探测到，而且一旦被探测到，它总是以一个完整的粒子的形象(一定质量、一定电荷、一个相当局域的空间位置)出现，特别是从不可能有实验在两个缝上同时发现同一个电子。这就是与经典波本质不同之处。正是基于这种理由，有人批评说这种“同时”的说法从实验观点来看缺乏实践意义。其实这恰好说明：以波的行为穿过双缝的电子，同时又具有粒子性的一面。这里强调指出，情况之所以如此怪异，正是由于测量！测量严重干扰了电子原来的状态，使它发生了不可逆转的状态突变。正是对电子位置的测量，使原来从两条缝“同时”穿过的电子状态发生突变，塌缩（约化）成为仅从一条缝穿过的状态。正是位置测量造就了电子的经典粒子面貌！产生了“波形象到粒子形象”的突变。事实是，在位置测量之前，电子并不一定以“粒子”的形象早就客观地存在着1！所有“whichway”实验只表明，每次位置测量的结果，确实说明