高中数学选修计数原理概率知识点总结

选修2-3定理概念及公式总结第一章基数原理1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法，……，在第n类办法中有nm种不同的方法奎屯王新敞新疆那么完成这件事共有N=m1+m2+……+mn种不同的方法奎屯王新敞新疆2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2×……mn种不同的方法分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”3.两个计数原理的区别:如果完成一件事，有n类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理，如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理.4.排列:从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.（1）排列数:从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列的个数.用符号mnA表示（2）排列数公式:)1()2)(1(mnnnnAmn用于计算，或mnA)!(!mnnnmNmn,,用于证明。nnA=!n=1231nn=n(n-1)!规定0！=15.组合：一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合（1）组合数:从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，用mnC表示（2）组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAm用于计算，或)!(!!mnmnCmn),,(nmNmn且用于证明。（3）组合数的性质：①mnnmnCC．规定：10nC；②mnC1＝mnC+1mnC.③nCCnnn11④1nnC6.二项式定理及其特例：（1）二项式定理NnbCbaCbaCaCbannnnnnnnnnrrr110展开式共有n+1项，其中各项的系数nCn,,2,1,0rr叫做二项式系数。（2）特例：1(1)1nrrnnnxCxCxx.7.二项展开式的通项公式：rrr1rbaCTnn（为展开式的第r+1项）8．二项式系数的性质：（1）对称性：在nba展开式中，与首末两端“等距”的两个二项式系数相等,即mnnmnCC，直线2nr是图象的对称轴．（2）增减性与最大值：当21rn时，二项式系数逐渐增大，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值。当n是偶数时，在中间一项22nT的二项式系数2nnC取得最大值；当n是奇数时，在中间两项21nT，23nT的二项式系数12nnC，12nnC取得最大值．9.各二项式系数和：（1）n210nnnnCCCCn2，（2）15314202nnnnnnnCCCCCC．10.各项系数之和：（采用赋值法）例：求932yx的各项系数之和解：992728190932yayxayxaxayx令1,1yx，则有13232992109aaaayx，故各项系数和为-1第二章概率知识点：1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X所有可能的值能一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xnX取每一个值xi的概率p1，p2,.....,pi,......,pn，则称表为离散型随机变量X的概率分布，简称分布列4、分布列性质①pi≥0,i=1，2，…n；②p1+p2+…+pn=1．5、二点分布：如果随机变量X的分布列为：其中0p1，q=1-p，则称离散型随机变量X服从参数p的二点分布6、超几何分布：一般地,设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(n≤N)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，则它取值为m时的概率为为和中的较小的一个()(0,nM)mnmMNMnNCCPXmmllC，7、条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率8、公式：.0)(,)()()|(APAPBAPABP9、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。(|)()PBAPB10、n次独立重复试验：在相同条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，一般就称它为n次独立重复试验11、二项分布：设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数设为X．如果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是()kknknPXkCpq（其中k=0,1,……,n）于是可得随机变量X的分布列如下：这样的离散型随机变量X服从参数为n，p二项分布，记作X～B(n，p)。12、数学期望：一般地，若离散型随机变量X的概率分布为则称1122()nnEXxpxpxp为离散型随机变量X的数学期望或均值（简称为期望）．13、方差:2221122()(())(())(())nnDXxEXpxEXpxEXp叫随机变量X的方差，简称方差。14、集中分布的期望与方差一览：15、正态分布：若正态变量概率密度曲线的函数表达式为),(,21)(222)(xexfx的图像，其中解析式中的实数、是参数，且0，、分别表示总体的期望与标准差．期望为与标准差为的正态分布通常记作2(,)N，正态变量概率密度曲线的函数的图象称为正态曲线。期望方差两点分布()EXp()DXpq二项分布，X～B（n,p）()EXnp()DXnpq超几何分布N，M，n()nMEXN16、正态曲线基本性质：（1）曲线在x轴的上方，并且关于直线x=对称．（2）曲线在x=时处于最高点，并且由此处向左、右两边无限延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状．（3）曲线的形状由确定．越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中．17、3原则：容易推出,正变量在区间(2,2)以外取值的概率只有4.6%,在(3,3)以外取值的概率只有0.3%由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.(,)68.3%P(2,2)95.4%P(3,3)99.7%P