初中数学八年级下因式分解

第四章因式分解一、因式分解的意义：因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式注意：①结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式；②因式分解与整式的乘法在运算过程上是完全相反的。例01．下列四个从左到右的变形，是因式分解的是（）A．1)1)(1(2xxxB．))(())((mnabnmbaC．)1)(1(1babaabD．)32(322mmmmm例02．在下面多项式中，能通过因式分解变形为)2)(13(yxx的是（）A．yxxyx2632B．yxxyx2632C．xyxyx6322D．xyxyx6322二、因式分解的方法类型一、提公因式法提公因式时应注意：⑴如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正；⑵公因式的系数和字母应分别考虑：①系数是各项系数的最大公约数；②字母是各项共有的字母，并且各字母的指数取次数最低的。例01．在下面因式分解中，正确的是（）A．)5(522xxyyxyyxB．2)()()()(cbacabcbacbcbaaC．)1)(2()2()2(2xaxaxaxD．)12(2422232bbabababab例02．把yxyxyx3234268分解因式的结果为。例03．分解因式：323)(24)(18)(6xyxyyx.说明：⑴观察题目结构特征⑵对于)(yx与)(xy的符号有下面的关系：3322)()(,)()(),(xyyxxyyxxyyx例04．解方程：0)2313)(21(6)1823)(612(xxxx例05．不解方程组,134,32nmnm求：32)2(2)2(5mnnmn的值.类型二、公式法1、利用平方差公式因式分解：bababa22注意：①条件：两个二次幂的差的形式；②平方差公式中的a、b可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22ba的形式，并弄清a、b分别表示什么。例如：分解因式：（1）291x；（2）221694ba；（3）22)(4)(nmnm2、利用完全平方公式因式分解：2222bababa注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成222)(2bababa公式原型，弄清a、b分别表示的量。2、利用立方和立方差公式因式分解：))((2233babababa典型例题：例1用平方差公式分解因式：（1）22)(9yxx；（2）22331nm说明：因式分解中，多项式的第一项的符号一般不能为负；分数系数一般化为整系数。例2分解因式：（1）abba5；（2）)()(44nmbnma.说明：将公式法与提公因式法有机结合起来，先提公因式，再运用公式.例3判断下列各式能否用完全平方公式分解因式，为什么？（1）962aa；（2）982xx；（3）91242xx；（4）223612yxxy.说明：可否用公式，就要看所给多项式是否具备公式的特点.例4把下列各式分解因式：⑴442xx；⑵2294942yxxy⑶mnnm4422说明：使用完全平方公式时，要保证平方项前的符号为正，当平方项前的符号是负号时，先提出负号.例5分解因式：⑴22363ayaxyax.⑵22222)(624baba说明：⑴分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提再分解.⑵分解因式必须进行彻底，直至每个因式都不能再分解为止.例6分解因式：⑶22)(9))(2(6)2(nmnmmnnm；⑵4224168bbaa；⑶1)2(2)2(222mmmm.⑷63244914bbaa说明：在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用.例7若25)4(22xax是完全平方式，求a的值.说明：根据完全平方公式特点求待定系数a，熟练公式中的“a、b”便可自如求解.例8已知2ba，求222121baba的值.说明：将所求的代数式变形，使之成为ba的表达式，然后整体代入求值.例9已知1yx，2xy，求32232xyyxyx的值.说明：这类问题一般不适合通过解出x、y的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于xy与yx的式子，再整体代入求值.例10证明：四个连续自然数的积加1，一定是一个完全平方数.说明：可用字母表示出四个连续自然数，通过因式分解说明结果是完全平方数.例11已知x和y满足方程组346423yxyx，求代数式2249yx的值。类型三、分组分解法1、条件：当所给多项式有四项或四项以上时，应釆用分组分解法。2、原则：分组后能继续分解（即分组只是为实际分解创造条件，并没有直接达到分解的目的）。3、方法：按有公因式或可运用公式的方法合理分组，其具体步骤为：①组内提公因式或运用公式；②组间提公因式或运用公式。分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，一般分组方式不惟一，且灵活多变.例1选择题：对nnpmpm22运用分组分解法分解因式，分组正确的是（）（A）mpnpnm)22(（B）)2()2(mpnnpm（C）)()22(npmpnm（D）npmpnm)22(说明：本组题目用来判断分组是否适当.例2因式分解：（1）ybxbyaxa2222；（2）nxnmxmx2说明：（1）把有公因式的各项归为一组，这是正确分组的方法之一；（2）分组的方法不唯一，而合理的选择分组方案，会使分解过程简单；（3）分组时要用到添括号法则，注意在添加带“－”的括号时，括号内每项要变号；例3分解因式：（1）22441yxyx；（2）2222babax；⑶baba2422说明：把能应用公式的各项归为一组，这是正确分组的方法之一；。例4分解因式：⑴315523xxx⑵xxyyx21372说明：根据“对应系数成比例”的原则合理分组，可提高分解的速度。例5把下列各式分解因式：（1）222zyzyxzxy；（2）122222abccba；（3）1424422yxyxyx.说明：对于项数较多的多项式，以“交叉项”为突破口，寻找“相应的平方项”进行分组，这使分组有了一定的针对性，省时提速.例6分解因式：（1）6)2)(1(xxx；（2）)()1(222baxxab说明：本组两题原题本身给出的分组形式无法继续进行，为达到分解的目的，对此类型题，可采用先去括号，再重新分组来进行因式分解。即“先破后立，不破不立”。类型四、十字相乘法题型一：pqxqp2）（x事实上：).)(())()()()(22pxqxpxqpxxpqqxpxxpqxqpx（题型二：c2bxax大家知道：2112212212211)())((ccxcacaxaacxacxa反过来，就得到：))(()(2211211221221cxacxaccxcacaxaa例1分解因式：⑴652aa；⑵1032mm.⑶22xx；⑷1522xx.说明：本题属于pqxqpx)(2型的二次三项式，可用规律公式来加以分解.（5）25122xx（6）22865yxyx（7）22224954yyxyx（8）6732xx（9）3832xx（10）2532xx（11）422416654yyxx（12）例2分解因式：（1）4)(5)(2baba；（2）22127qpqp.例3分解因式：⑴qpqpqp36522；⑵ccbcbaba222424.