勾股定理全章复习

勾股定理全章复习北京四中网校刘艳老师Tel:13212774602QQ:815231955一、知识回顾1.Rt△ABC中，斜边BC＝2，则的值为A.8B.4C.6D.无法计算2.已知两条线段的长分别为11cm和60cm，当第三条线段的长为___cm时，这3条线段能组成一个直角三角形.3.已知三角形的三边长为(其中)，则此三角形()．A.一定是等边三角形B.一定是等腰三角形C.一定是直角三角形D.形状无法确定222ABACBC一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.（即：）2.勾股定理的应用（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为的线段.222abc二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.二、勾股定理的逆定理2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c，满足，那么这个三角形是直角三角形.应用勾股定理的逆定理判定的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c；（2）验证与是否具有相等关系，若相等，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.222abc2c22ab二、勾股定理的逆定理3.勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数，显然，以为x、y、z三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：①3、4、；②5、12、；③8、15、；④7、24、；⑤9、40、.注：如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.222xyzabc、、atbtct、、513172541三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.类型一、勾股定理及逆定理的简单应用例1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的长．解：设第三边为x．当x为斜边时，由勾股定理得．所以．当x为直角边时，由勾股定理，得．所以．所以这个三角形的第三边为10或．22268x2268366410010x22268x228664362827x27【总结升华】题中未说明第三边是直角边还是斜边，应分类讨论，本题容易误认为所求的第三边为斜边．类型一、勾股定理及逆定理的简单应用举一反三：【变式】在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．求△ABC的周长．解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理，得．∴．同理．∴．①当∠ACB＞90°时，BC＝BD－CD＝9－5＝4．∴△ABC的周长为：AB＋BC＋CA＝15＋4＋13＝32．②当∠ACB＜90°时，BC＝BD＋CD＝9＋5＝14．∴△ABC的周长为：AB＋BC＋CA＝15＋14＋13＝42．综上所述：△ABC的周长为32或42．22222151281BDABAD819BD22222131225CDACAD255CD类型一、勾股定理及逆定理的简单应用例2、如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，M为AB上一点．求证：．2222AMBMCM【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证．类型一、勾股定理及逆定理的简单应用举一反三：【变式】已知，△ABC中，AB＝AC，D为BC上任一点，求证：.22ABADBDCD类型二、勾股定理及逆定理的综合应用例3、已知如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，D是BC上的一点，且AD⊥AC，求BD的长．【总结升华】勾股定理的作用是：已知直角三角形的两边可以求第三边，所以求直角三角形的边长时应该联想到勾股定理．类型二、勾股定理及逆定理的综合应用举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，BD＝，AE⊥BC于E，求AE的长．【总结升华】勾股定理的作用是：已知直角三角形的两边可以求第三边，所以求直角三角形的边长时应该联想到勾股定理．类型二、勾股定理及逆定理的综合应用例4、如图①所示，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用表示，则不难证明．(1)如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示，那么之间有什么关系?(不必证明)123SSS、、123SSS123SSS、、类型二、勾股定理及逆定理的综合应用例4、如图①所示，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用表示，则不难证明．(2)如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用表示，请你确定它们之间的关系并加以证明．【总结升华】本题可以在直角三角形外作的三个图形推及为等腰直角三角形、正五边形等．123SSS、、123SSS123SSS、、类型二、勾股定理及逆定理的综合应用例5、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足，判断ΔABC的形状.【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中经常要用到.222506810abcabc类型三、勾股定理的实际应用例6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A处爬到B处的最短路线长为多少?【总结升华】解本题的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面图形上的直线，再运用勾股定理求解．类型三、勾股定理的实际应用举一反三：【变式】如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______.(π取3)1）勾股定理和逆定理的涵义3）勾股定理和逆定理求最短路程2）勾股定理和逆定理的应用