高中数学经典题型-向量大题第1专辑(含详细答案)

高中数学经典题型向量第一辑【编著】黄勇权【第1题】已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝()A、7B、10C、13D、4解：手把手教你对于向量，要学会画图，画好图，题就简单多了。（1）a，b均为单位向量，所以a与b的长度是1，而且它们的夹角为60°，按照题意画好图。（2）3b，就是b方向不变，延长3倍，3b的长度为3，如下图。（3）【特别提示】a+3b，并不是a与3b的收尾相连，a与3b的收尾相连，恰恰是a-3b。要想得到a+3b，就得作a的平行向量，怎么做？就是从3b的末端，即3b的箭头，作a的平行线，其长度等于1，如下图：用A、B、C标好各个端点。如下图那么，图中的→AC才是a+3b。在三角形ABC中，AB=3，BC=1，∠ABC=180°-60°=120°，如下图：由余弦定理，AC²=3²+1²-2×3×1×cos120°=13AC=13即|a＋3b|＝13，故选C【强化训练】已知a、b，按要求画出图形。解：画出3b-2a第一步：画出3b、2a先画3b，沿着b的方向，将其长度延伸3倍，再画2a，沿着a的方向，将其长度延伸2倍，如下图。画好2a、3b，用A、B、C标好各个端点，并连接BC。在封闭的三角形中，向量→AB与→BC收尾相连，而向量→AC，是→AB与→BC点起A与末点C，根据向量的定义，则有→AC=→AB+→BC又：→AC=3b，→AB=2a，所以→BC=3b-2a。【记住】向量箭头的连线，是这两个向量之差。（2）画出a+b2第一步：先画b2，将b的长度，分成2等分，取其中点为B.第二步：用A、C标好各个端点。CA第三步，过点C坐平行于AB的向量→CD，且CD的长度等于AB。CDAB第三步，连接AD，则向量→AD=a+b2CDAB(3)画2a3第一步：将a的长度3等分，并标出三个端点，A、B、C。b第二步：过A点作向量→AD，使得→AD平行于b,且AD的长度等于b的长度。D第三步：连接DB，则向量→DB=2a3-bD【第2题】如图，ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，点M在线段DO上，且→DM=13→DO，点N在线段OC上,且→ON=13→OC,设→AB=a,→AD=b,试用a、b表示→AM，→AN，→MN。解：如果【强化训练】你能得心应手，那么这道题就太简单了。（1）求→AM，在三角形ADM中，已知→AD，要求→AM，必须先求出→DM。因为O是对角线的交点，所以DO=BO（注意：DO,CO这里是长度，不是向量）又，→DM=13→DO，故→DM=16→DB-------①在三角形ABD中，DAB注意三个向量的箭头方向，得出，→AB=→AD+→DB所以，→DB=→AB-→AD=a-b---------------②由①②知，→DM=16（a-b）----------------③D在三角形ADM中，注意三个向量的箭头方向，得出，→AM=→AD+→DMMA已知→AD=b，→DM=16（a-b）求得→AM=b+16（a-b）=a+5b6（2）求→AN，因为N在AC上，必须先求出→AN与→AC的关系式。因为N在AC上，因为O是对角线的交点，所以AO=CO（注意：AO,CO这里是长度，不是向量）则ON=13OC=16ACAN=AO+ON=12AC+16AC=23AC,也就是：→AN=23→AC-------------④在三角形ABC中，CAB注意三个向量的箭头方向，得：→AC=→AB+→BC,已知→AB=a，→BC=→AD=b即：→AC=a+b----------------⑤又④⑤知，→AN=23（a+b）（2）求→MN，在三角形NOM中，必须先求出→MO、→ON,通过线段的长度关系，得出MO=23OD=13BD=23(a-b）-------⑥通过线段的长度关系，得出ON=13OC=16AC=16(a+b）-------⑦在三角形MON中，MN注意三个向量箭头的方向，得，0→MN=→MO+→0N由⑥⑦知，→MN=23(a-b）+16(a+b）=5a-3b6【第3题】已知向量|→a|=1，|→b|=42，→c=2→a+12→b，若→c⊥→a，求→a与→b的夹角。解：这道题，十分典型，必须通过作图，才能解答题。第一步：随意画出两个向量a，b。ab第二步，沿着a的方向，将它的长度延伸2倍，2ab第三步：过2a的箭头，作b的平行向量，使得其等于12→b2a12→b第四步：用A、B、C标注好各个端点。BCA连接AC，那么→AC=2→a+12→bB因为→c⊥→a，即→AC⊥→AB由于是随意画的a，b，故需要重新画一下三角形ABC。AC在直角三角形ABC中，AB=2|→a|=2×1=2，斜边BC=12|→b|=12×42=22AC=BC²-BA²2=2所以∠BAC=45°【特别提醒】∠BAC并不是→a与→b的夹角，∠BAE才是→a与→b的夹角。因为BC∥AE，则有∠BAE=180-∠BAC=180-45°=135°答案：→a与→b的夹角是135°【第4题】已知A，B，C为圆O上的三点，若→AO＝12(→AB＋→AC)，则→AB与→AC的夹角为________．解：在圆O上随意取三点A、B、C、ABCOE过B作向量→BE=→AC,连接AE,则→AE=→AB＋→AC因为→AO＝12(→AB＋→AC)，说明O点在AE上，且O是AE的中点。重新画图：ABOCE在三角形ABE中，AE是直径，所以∠BAE=90°又→AC∥→BE答案：→AB与→AC的夹角为90°【第5题】设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，解：ABOMCD在三角形AMO中，AOM比较三个向量的箭头，得→OM=→OA+→AM,所以有：→AM=→OM-→OA------①在三角形OMD中，MoD比较三个向量的箭头，得→OD=→OM+→MD,所以有：→MD=→OD-→OM------②又M是AD的中点，所以，→AM=→MD----------------------------------③由①②③得，→OM-→OA=→OD-→OM即有：2→OM=→OA+→OD同理：2→OM=→OC+→OB故：→OA+→OD+→OC+→OB=4→OM选D【第6题】向量→a=（1，-2）与→b=（1，1），若（2→a-λ→b）⊥（→a+2→b），则λ=（）解：【特别提示】向量为坐标时，则不用画图，如果画图，反而很麻烦。→a=（1，-2），→b=（1，1），所以：2→a-λ→b=（2×1-λ×1，2×（-2）-λ×1）=（2-λ，-4-λ）→a+2→b=（1+2×1，-2+2×1）=（3，0）因为（2→a-λ→b）⊥（→a+2→b）则有：3（2-λ）+0=0解得：λ=2【第7题】向量→a=（1，1）与→b=（2，5），→c=（3，x）满足条件（8→a-→b）·→c=30，则x=（）A、6B、5C、4D、3解：因为向量→a=（1，1）、→b=（2，5）所以，8→a-→b=（8×1-2，8×1-5）=（6，3）（8→a-→b）·→c=6×3+3χ=18+3χ=30解得，χ=4故选C【第8题】已知a=(cosθ，sinθ)，b=(3，－1)，则|2a－b|的最大值为（）解：2a－b=（2×cosθ-3，2×sinθ+1）=（2cosθ-3，2sinθ+1）|2a－b|=(2cosθ-3)²+(2sinθ+1)²=14+4sinθ-12cosθ令y=14+4sinθ-12cosθ=14+410（110sinθ-310cosθ）=14+410sin（θ-φ）（tanφ=3）当θ-φ=π2时，y最大，y=14+410【第9题】已知向量a＝(3x+3，x)，b＝(x＋1,2)，其中，x＞0，若a∥b，则x的值为()A．8B．6C．2D．1解：向量a、b，可以把他们看成是两条平行线。平行的两条直线，他们的斜率相等，对于向量也实用。向量a的斜率=x3x+3,向量b的斜率=2x+1,他们斜率相等，即：x3x+3=2x+1整理得：x²-5x-6=0解得x=-1（舍去，因为x＞0），x=6，故选B【第10题】已知→a=（k，3），→b=（1，4），→c=（2，1），且（2→a-3→b）⊥→c，则实数k=（）A．-1B．0C．3D．6解：因为→a=（k，3），→b=（1，4）所以：2→a-3→b=（2×k-3×1，2×3-3×4）=（2k-3，-6）又（2→a-3→b）⊥→c2（2k-3）-6=0k=3故选C【第11题】已知向量→a，→b满足|→a+→b|=10，|→a-→b|=6，则→a·→b=（）A．1B．2C．3D．5解：因为|→a+→b|=10两边平方（→a）²+2→a·→b+（→b）²=10------------①因为|→a-→b|=6两边平方（→a）²-2→a·→b+（→b）²=6-----------②①-②得，4→a·→b=4即：→a·→b=1故选A【第11题】已知向量→a与→b满足|→a|=2，→b=（6，8），若λ→a+12→b=0，则λ=（）解：【方法1】因为λ→a+12→b=0λ→a=-12→b两边取绝对值|λ→a|=|-12→b||λ|*|→a|=12|→b|-------------------------①→b=（6，8），则有|→b|=10，|→a|=2代入①中|λ|=52所以，λ=±52【方法2】设→a=（m，n）∵|→a|=2，所以m²+n²=2²----------------------③又λ→a+12→b=（λm+12×6，λn+12×8）=0=（0，0）即：λm+3=0即m=-3λλn+4=0即n=-4λ把m、n代入③（-3λ）²+（-4λ）²=4解得λ²=254所以，λ=±52【第12题】已知向量a=(1,3),b=(-2,-6),|c|=10,若(a+b)*c=5,则a与c的夹角为（）解：【方法1】因为a=(1,3),b=(-2,-6)所以，a+b=（1-2，3-6）=（-1，-3）设c=（m，n）因为|c|=10，有m²+n²=（10）²------------①∵(a+b)*c=5（-1）*m+（-3）*n=5，即，-m-3n=5---------------②由①②解得，m=-1-332，n=-3+32或，m=-1+332n=-3-32因为，a=(1,3)，|a|=10，c=（-1-332，-3+32），|c|=10a·c=1×-1-332+3×-3+32=-5设a与c的夹角为βcosβ=a*c│a│*│c│=-5│√10│*│√10│=-12所以，设a与c的夹角为120°当c=（-1+332，-3-32），|c|=10a·c=1×-1+332+3×-3-32=-5设a与c的夹角为βcosβ=a*c│a│*│c│=-5│√10│*│√10│=-12所以，设a与c的夹角为120°故设a与c的夹角为120°【方法2】因为a=(1,3),b=(-2,-6)第一步：作图A(1,3)oB（-2，-6）通过作图知道，A、O、B三点共线，所以，a+b=（1-2，3-6）=（-1，-3）那么：|a+b|=(-1)²+(-3)²=10设a+b与c的夹角为θa则：cosθ=(a+b)*c│a+b│*│c│=5│√10│*│√10│=120°所以，a+b与c的夹角为60°c而a+b=（-1，-3），a=(1,3)，故a+b与c的夹角是180a+bc所以，a与c的夹角为180°-60°=120°【技巧】因为a、b已知给出，所以通过作图，先判断a、b是否共线，如果共线，就采用【方法2】，如果不共线，仍用【方法2】根本做不出来，必须用【方法1】。【第13题】已知向量|→a|=2|→b|=1为单位向量，其夹角为60°，则（2→a-→b）·→b=（）A．12B．13C．14D．2解：|→a|=2|→b|=1，所以|→b|=12（2→a-→b）·→b=2→a·→b-→b·→b=2→a·→b-|→b|²=2→a·→b-14-----①|→a|=2|→b|=1，其夹角为60°Cos60°=a*b│a│*│b│，12=a*b