椭圆定义及应用

1592579485976第1页共7页一、椭圆第一个定义的应用1.1椭圆的第一个定义平面内有两个定点F1、F2，和一个定长2a。若动点P到两个定点距离之和等于定长2a，且两个定点距离|F1F2|2a.则动点轨迹是椭圆。两个定点F1、F2称为椭圆的焦点。由此定义得出非常重要的等式，其中P为椭圆上一个点。此等式既表明作为椭圆这个点的轨迹的来源，也说明椭圆上每一个具有的共同性质。即椭圆上每一个点到两个焦点距离之和等于定长2a.在有关椭圆的问题中，若题设中含有有关椭圆上一点到两个焦点距离的信息，首先考虑的就是能否用上这个关系式。1.2应用举例例1.已知点1(3,0)F,2(3,0)F,有126PFPF,则P点的轨迹是.例2.求证以椭圆(ab0)上任意一点P的焦半径为直径画圆，这个圆必与圆相切.解评：此题若用一般方法解或用椭圆参数方程解答，计算量都很大，解题过程冗长，属于中档题。我们若抓住PF2为一个圆直径，PF1为另一个圆半径的2倍，用公式，很容易得出正确解答。1592579485976第2页共7页例3.F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，求的面积.24解评：题设中有椭圆上一点到两个焦点间距离的信息，即可试探是否能用解决例4.P是椭圆2214520xy上位于第一象限内的点,F1、F2是椭圆的左、右焦点,若则12PFPF的值为()A.65B.25C.153D.253例5.在圆C:22(1)25xy内有一点A(1,0),Q为圆C上一点,AQ的垂直平分线线段CQ的交点为M,求M点的轨迹方程.练:一动圆与圆⊙o1：x2+y2+6x+5=0外切,同时与⊙o2：x2+y2_6x_91=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。1592579485976第3页共7页例6.已知定点A（－2，3）,点F为椭圆2211612xy的右焦点，点M在该椭圆上移动时，求|AM|＋|MF|的最小值与最大值。例7.设P是直线x-y+9=0上一点，过P点的椭圆以F1(-3，0)和F2（3，0）为焦点，试求P点在什么位置时，所求椭圆的长轴最短，并写出具有最短长轴的椭圆的方程。解评：（1）转化思想是高中数学重要的数学思想，此题把求长轴最短值转化为求的最小值，再转化为求F1关于直线x-y+9=0的对称点。这样做后，思路清晰，条理分明，计算简捷。1592579485976第4页共7页二、椭圆第二个定义的应用2.1椭圆的第二个定义（课本P78）点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆。定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。2.2应用举例例1.椭圆焦点F1（-c，0），F2（c，0），离心率M是椭圆上一点，其横坐标为x0，求M点的两个焦半径|MF1|和|MF2|之长.解：过M作右准线的垂线MM2，则根据椭圆第二定义同理可得解评（1）解析几何中很容易求出平行于坐标轴的线段长，因此椭圆上一点到准线的距离易求，某点的焦半径结果易见。题设中若有某点的焦半径信息，用第二定义解题可得事半功倍之效。（2）此题的结果，与第二定义等式都可作为公式加以应用。1592579485976第5页共7页例2.椭圆上一点P到左准线的距离等于2，求P到右焦点距离。解：解评此题使用了椭圆的两个定义.例3.已知定点A（－2，3）,点F为椭圆2211612xy的右焦点，点M在该椭圆上移动时，求|AM|＋2|MF|的最小值。1592579485976第6页共7页三、同步检测1.椭圆上一点P到左、右两焦点距离之比为1：3，则P到左准线的距离是（）A.5B.15C.D.2.短轴长为，离心率为的椭圆的两个焦点分别为F1和F2.过F1作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（）A.24B.12C.6D.33.已知椭圆上一点P到右焦点的距离为b，则P到左准线的距离是（）4.已知椭圆的焦点F1（-1，0），F2（1，0），P是椭圆上的一点，且|F1F2|是|PF2|与|PF1|的等差中项，则该椭圆的方程是（）5.P是椭圆上的动点，过点P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM中点的轨迹方程是（）1592579485976第7页共7页答案及提示提示：1.|PF1|=52.3.4.5.设P（x0，y0），PM的中点N（x，y），代入即得结果。