数学分析9.4定积分的性质

第九章定积分4定积分的性质一、定积分的基本性质性质1：若f在[a,b]上可积，k为常数，则kf在[a,b]上也可积，且bakf(x)dx=kbaf(x)dx.证：当k=0时结论成立.当k≠0时，∵f在[a,b]上可积，记J=baf(x)dx，∴任给ε0，存在δ0，当║T║δ时，|in1iix△)ξ(f-J||k|ε；又|in1iix△)ξ(kf-kJ|=|k|·|in1iix△)ξ(f-J||k|·|k|ε=ε，∴kf在[a,b]上可积，且bakf(x)dx=kbaf(x)dx.性质2：若f,g都在[a,b]上可积，则f±g在[a,b]上也可积，且bag(x)][f(x)dx=baf(x)dx±bag(x)dx.证：∵f,g都在[a,b]上可积，记J1=baf(x)dx，J2=bag(x)dx.∴任给ε0，存在δ0，当║T║δ时，有|in1iix△)ξ(f-J1|2ε，|in1iix△)ξ(g-J2|2ε.又|in1iiix△)]ξ(g)ξ([f-(J1+J2)|=|(in1iix△)ξ(f-J1)+(in1iix△)ξ(g-J2)|≤|in1iix△)ξ(f-J1|+|in1iix△)ξ(g-J2)|2ε+2ε=ε；|in1iiix△)]ξ(g)ξ([f-(J1-J2)|=|(in1iix△)ξ(f-J1)+(J2-in1iix△)ξ(g)|≤|in1iix△)ξ(f-J1|+|in1iix△)ξ(g-J2)|2ε+2ε=ε.∴f±g在[a,b]上也可积，且bag(x)][f(x)dx=baf(x)dx±bag(x)dx.注：综合性质1与性质2得：baβg(x)]αf(x)[dx=αbaf(x)dx±βbag(x)dx.性质3：若f,g都在[a,b]上可积，则f·g在[a,b]上也可积.证：由f,g都在[a,b]上可积，从而都有界，设A=]b,a[xsup|f(x)|，B=]b,a[xsup|g(x)|，当AB=0时，结论成立；当A0,B0时，任给ε0，则存在分割T’,T”，使得Tiifx△ωB2ε，Tiigx△ωA2ε.令T=T’+T”，则对[a,b]上T所属的每一个△i，有ωif·g=]b,a[x,xsup|f(x’)g(x’)-f(x”)g(x”)|≤]b,a[x,xsup[|g(x’)|·|f(x’)-f(x”)|+|f(x”)|·|g(x’)-g(x”)|]≤Bωif+Aωig.又Tigfix△ω≤BTifix△ω+ATigix△ω≤BTifix△ω+ATigix△ωB·B2ε+A·A2ε=ε.∴f·g在[a,b]上可积.注：一般情形下，baf(x)g(x)dx≠baf(x)dx·bag(x)dx.性质4：f在[a,b]上可积的充要条件是：任给c∈(a,b)，f在[a,c]与[c,b]上都可积.此时又有等式：baf(x)dx=caf(x)dx+bcf(x)dx.证：[充分性]∵f在[a,c]与[c,b]上都可积.∴任给ε0，分别存在对[a,c]与[c,b]的分割T’,T”，使得Tiix△ω2ε，Tiix△ω2ε.令[a,b]上的分割T=T’+T”，则有Tiix△ω=Tiix△ω+Tiix△ω2ε+2ε=ε，∴f在[a,b]上可积.[必要性]∵f在[a,b]上可积，∴任给ε0，存在[a,b]上的某分割T，使Tiix△ωε.在T上增加分点c，得分割T⁰，有Tiix△ω≤Tiix△ωε.分割T⁰在[a,c]和[c,b]上的部分，分别构成它们的分割T’和T”，则有Tiix△ω≤Tiix△ωε，Tiix△ω≤Tiix△ωε，∴f在[a,c]与[c,b]上都可积.又有Tiix)△f(ξ=Tiix)△ξf(+Tiix)△ξf(，当║T⁰║→0时，同时有║T’║→0，║T”║→0，对上式取极限，得baf(x)dx=caf(x)dx+bcf(x)dx.(关于积分区间的可加性)规定1：当a=b时，baf(x)dx=0；规定2：当ab时，baf(x)dx=-abf(x)dx；以上规定，使公式baf(x)dx=caf(x)dx+bcf(x)dx对于a,b,c的任何大小顺都能成立.性质5：设f在[a,b]上可积.若f(x)≥0,x∈[a,b]，则baf(x)dx≥0.证：∵在[a,b]上f(x)≥0，∴f的任一积分和都为非负.又f在[a,b]上可积，∴baf(x)dx=in1ii0Tx△)f(ξlim≥0.推论：(积分不等式性)若f,g在[a,b]上都可积，且f(x)≤g(x),x∈[a,b]，则有baf(x)dx≤bag(x)dx.证：记F(x)=g(x)-f(x)≥0,x∈[a,b]，∵f,g在[a,b]上都可积，∴F在[a,b]上也可积.∴baF(x)dx=bag(x)dx-baf(x)dx≥0，即baf(x)dx≤bag(x)dx.性质5：若f在[a,b]上可积，则|f|在[a,b]上也可积，且|baf(x)dx|≤ba|f(x)|dx.证：∵f在[a,b]上可积，∴任给ε0，存在分割T，使Tiifx△ωε，由不等式||f(x1)|-|f(x2)||≤|f(x1)-f(x2)|可得i||fω≤ifω，∴Tii||fx△ω≤Tiifx△ωε，∴|f|在[a,b]上可积.又-|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|，∴|baf(x)dx|≤ba|f(x)|dx.例1：求11-f(x)dx，其中f(x)=.1x0，e，0x1-1-2xx-，解：11-f(x)dx=01-f(x)dx+10f(x)dx=(x2-x)01+(-e-x)10=-2-e-1+1=-e-1-1.例2：证明：若f在[a,b]上连续，且f(x)≥0，baf(x)dx=0，则f(x)≡0,x∈[a,b].证：若有x0∈[a,b],使f(x0)0，则由连续函数的局部保号性，存在的x0某邻域U(x0,δ)（当x0=a或x0=b时，则为右邻域或左邻域），使f(x)≥21f(x0)0，从而有baf(x)dx=δ-xa0f(x)dx+δxδ-x00f(x)dx+bδx0f(x)dx≥0+δxδ-x0002)f(xdx+0=δf(x0)0，与baf(x)dx=0矛盾，∴f(x)≡0,x∈[a,b].二、积分中值定理定理9.7：(积分第一中值定理)若f在[a,b]上连续，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使得baf(x)dx=f(ξ)(b-a).证：∵f在[a,b]上连续，∴存在最大值M和最小值m，由m≤f(x)≤M,x∈[a,b]，得m(b-a)≤baf(x)dx≤M(b-a)，即m≤baf(x)a-b1dx≤M.又由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=baf(x)a-b1dx，即baf(x)dx=f(ξ)(b-a).积分第一中值定理的几何意义：(如图)若f在[a,b]上非负连续，则y=f(x)在[a,b]上的曲边梯形面积等于以f(ξ)为高，[a,b]为底的矩形面积.baf(x)a-b1dx可理解为f(x)在[a,b]上所有函数值的平均值.例3：试求f(x)=sinx在[0,π]上的平均值.解：所求平均值f(ξ)=π0f(x)π1dx=π1(-cosx)π0|=π2.定理9.8：(推广的积分第一中值定理)若f与g在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使得g(x)f(x)badx=f(ξ)bag(x)dx.证：不妨设g(x)≥0,x∈[a,b]，M,m分别为f在[a,b]上的最大,最小值.则有mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x),x∈[a,b]，由定积分的不等式性质，有mbag(x)dx≤g(x)f(x)badx≤Mbag(x)dx.若bag(x)dx=0，结论成立.若bag(x)dx0，则有m≤dxg(x)g(x)dxf(x)baba≤M.由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=dxg(x)g(x)dxf(x)baba，即g(x)f(x)badx=f(ξ)bag(x)dx.习题1、证明：若f与g在[a,b]上可积，则in1iii0Tx△))g(ηf(ξlim=bagf，其中ξi,ηi是△i内的任意两点.T={△i},i=1,2,…,n.证：f与g在[a,b]上都可积，从而都有界，且fg在[a,b]上可积.设|f(x)|M,x∈[a,b]，则对[a,b]上任意分割T，有in1iiix△))g(ηf(ξ=in1iiiiix△)]g(ξ-)g(η))[g(ξf(ξ=in1iiix△))g(ξf(ξ+igin1iix△ω)f(ξ≤in1iiix△))g(ξf(ξ+Min1igix△ω.∴|in1iiix△))g(ηf(ξ-in1iiix△))g(ξf(ξ|≤Min1igix△ω.∴|in1iii0Tx△))g(ηf(ξlim-in1iii0Tx△))g(ξf(ξlim|≤0TlimMin1igix△ω=0∴in1iii0Tx△))g(ηf(ξlim=in1iii0Tx△))g(ξf(ξlim=bagf.2、不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小.(1)10xdx与102xdx；(2)2π0xdx与2π0sinxdx.解：(1)∵xx2,x∈(0,1)，∴10xdx102xdx.(2)∵xsinx,x∈(0,2π]，∴2π0xdx2π0sinxdx.3、证明下列不等式：(1)2π2π02xsin21-1dx2π；(2)110x2edxe；(3)12π0xsinxdx2π；(4)3e4eexlnxdx6.证：(1)∵1xsin21-11221-11=2,x∈(0,2π)；∴2π0dx2π02xsin21-1dx2π02dx，又2π0dx=2π；2π02dx=2π；∴2π2π02xsin21-1dx2π.(2)∵12xee,x∈(0,1)；∴1=10dx10x2edx10edx=e.(3)∵π2xsinx1，x∈(0,2π)；∴1=2π0dxπ210x2edx2π0dx=2π.(4)令xlnx=x2lnx-2=0，得xlnx在[e,4e]上的驻点x=e2,又exxlnx=e1，e4xxlnx=e2ln4e，∴在[e,4e]上e1xlnx22elne=e2；∴3e=4eee1dx4eexlnxdx4eee2dx=6.4、设f在[a,b]上连续，且f(x)不恒等于0.证明：ba2[f(x)]dx0.证：∵f(x)不恒等于0；∴必有x0∈[a,b]，使f(x0)≠0.又由f在[a,b]上连续，必有x∈(x0-δ,x0+δ)，使f(x)≠0，则δxδ-x200f0，∴ba2[f(x)]dx=δ-xa20f+δxδ-x200f+bδx20f=δxδ-x200f+00.注：当x0为a或b时，取单侧邻域.5、若f与g都在[a,b]上可积，证明：M(x)=b][a,xmax{f(x),g(x)}，m(x)=b][a,xmin{f(x),g(x)}在[a,b]上也都可积.证：M(x)=21(f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|)；m(x)=21(f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|).∵f与g在[a,b]上都可积，根据可积函数的和、差仍可积，得证.6、试求心形线