2.6--矩阵的逆及其求法

1一、逆矩阵的概念二、方阵可逆的判别定理第六节矩阵逆及其求法第二章三、逆矩阵的基本性质四、用矩阵的初等变换求逆矩阵2设11)()()(mininmijbBxXaAn元线性方程组122112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaBAX线性方程组的矩阵表示法nmmnmmnnaaaaaaaaa212222111211nxxx21mbbb21（2）3BAX则求（1）的解的问题归结为求(2)的解矢量问题，而后者即求中未知矩阵X的问题。这需要用到逆矩阵的问题。代数方程bxa的解bax1问矩阵方程BAX的解是否为BAX1?若可以，那么1A的含义是什么呢？4定义1设A为n阶方阵，如有n阶方阵B，使AB=BA=E.则称A为可逆阵，B为A的逆阵，记作1.BA又称可逆阵为非奇异阵，不可逆阵为奇异阵.例,21212121,1111BA设因为AB=BA=E.所以B是A的一个逆矩阵。一、逆矩阵的概念5若方阵A可逆，则其逆矩阵唯一.证明设B和C都是A的逆矩阵，则由定义有AB=BA=E，AC=CA=E，B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.所以逆矩阵唯一.单位矩阵的逆为其本身。对角矩阵的逆为（如果它可逆的话）1111122100.00nn611(1)();AA方阵的可逆满足性质：111(2)()(0);kAAkk11(4)()().TTAA(3)A、B均是同阶可逆阵，则111();ABBA(3)(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E.(4)AT(A-1)T=(A-1A)T=(E)T=E,证明只证(3)和(4).7矩阵可逆的条件：设矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa中元素aij的代数余子式Aij，定义1121112222*12nnnnnnAAAAAAAAAA称为A的伴随矩阵.8例2.16求二阶方阵11122122aaAaa的伴随矩阵.解2112,Aa1122,Aa2211,Aa1221,Aa所以*A11122122aaaa9.EAAAAA定理2.1证明：111111*11nnnnnnnnaaAAAAaaAA1111111111111111.nnnnnnnnnnnnnnnnaAaAaAaAaAaAaAaA由第一章行列式展开定理及其推论知*0.0AAAAAEA类似有.AAAE100.A0A1*1.AAA定理2.2矩阵A可逆充分必要条件是且当时，证明：必要性．设A可逆，1,AAE于是有两边取行列式有，110,AAE0.A因此充分性．0,A设由定理2.1知.EAAAAA故有**11()().AAAAEAA11由逆矩阵定义知，A可逆，且其逆为1*1.AAA定理2.2不仅给出了判断矩阵可逆的方法，还给出了求解逆矩阵的一种方法.0AA可逆A是非奇异矩阵•A是满秩矩阵12逆矩阵的求法一：伴随矩阵法例2.15设12,34A判断A是否可逆，如果可逆，求出其逆矩阵.解因为124620,34A故A可逆，且1*1AAA42123121.312213推论若方阵A、B有AB=E，则A、B均可逆.证明1,ABABE因为故0,0,AB于是A、B均可逆.14例2.17求解线性方程组123123123232,221,3434.xxxxxxxxx解方法一(Cramer法则)由于31222216,344D1232212,343D122312118,443D212321120,343D于是有1239,10,3.xxx15方法二(逆阵法)因为方程可写成矩阵形式Ax=b，其中1231232221,1,.3434xAbxxx由于20,A故A可逆，因此1,xAb其中11212,43A12213,33A13222,34A21236,43A1633122,22A22136,33A23122,34A31234,21A32135,21A于是126411365,2222AAA26421365122224x910.317利用方阵的逆矩阵及矩阵的乘法给出了求解变量个数等于方程个数的一种方法(第一章给出了行列式法)，但对于n较大时，两种方法都不适用.我们将在余下的章节讨论第三种方法.18例2.18211264,,213AABAB设求A+B.解由于AB=A+B，于是(A–E)B=A,又11125420,212AE于是1().BAEA而611()402.813AE19611()402.813AE所以161111()()402,22813AEAE61121114022642813213B8111422.2815故11622473.311222AB20例2.19设A为3阶矩阵，且3,A113.3AA求解由于,AAAE1,AAA故于是111113333AAAAA312A113AA12A312A8.321nAPAPP，求，，设20014121解：1PPA111111nnAPPPPPPPPPPPP1124211Pnn200111242120014121nnA1222122211nnnn例622二、逆矩阵求解方法二——初等变换法初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，为了充分发挥其作用，有必要对它进一步探讨。定理3A可逆AE行21mPPPAE1121mPPPEAEA行1()()AEEA行方法：求1A23例7求下列矩阵的逆矩阵523012101.1A解：101100()210010325001AE1038200122100011011271200012210001101241271200012210001101~12161127100012210001101~12161127100613265010001101~12728101251211A1216112710061326501012161125001~25134100()220010347001BE解2103550012880001431~1B不存在。26设A、B为n阶方阵，且A可逆，则（A|B）(E|A-1B)行初等变换定理327例8求解下列矩阵方程19405020541011100010001502431211X5026138030ABAX1308112()316134205205AB解)(1BAE28设312411210A，111B，BAXA21，例10求X。解BAXA21，BAAAXA21，BAEAXA21，，)(211BAAXBAXA21，100010001312411210EA*11AAA123100245010257001292232532330327X312411210BA，1232452571A，)(211BAAX30例12已知AA2求1)2(EA1)(EA解EEAA222EEAEA2))(2()2(21)(1EAEA)(21)2(1EAEA31113)()2(09EAEAEA及，求设，EEA83EEAAEA)42)(2(22，EEA83EEAAEA)(81)(2例1322142)2(EAEAEA)(81)(21EAAEA32例14若023EAA，判别A可逆，及)2(EA并求其逆。解,2)(2EEAAAA可逆且)(2121AEA08)2(3)2(2)2(2EEAEAAEAAEEA8)2(可逆，)2(EA且)32(81)2(21EAAEA(1)22EA,E(2))32(2EAAEEA)2()32(812EAA331DD=nEBXCX2212111AX，012X，1121CABX122BX111110BCABAD则02111BXCXmE11AX012AX设A,B分别是m阶,n阶可逆矩阵，BCAD0，求BABCAD0解0D，D可逆，设222112111XXXXD1D。例1534),,,(21sAAAdiagA，设•关于分块对角矩阵有下列运算性质：4、秩（A）=si1)(iA秩5、iA可逆时，则A可逆，且111121sAAAA35定理4：方阵A可逆的充分必要条件是它能表示成一些初等矩阵的乘积：12sAppp定理5设A，B是nm矩阵，则以下三个条件等价（1）A与B等价；)()()2(BRAR(3)存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q，使PAQB矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。36作业P129121，2，31，34