中考数学圆的基本性质复习全面版

第六章基本图形（二）第26课圆的基本性质基础知识自主学习1．主要概念：(1)圆：平面上到的距离等于的所有点组成的图形叫做圆．叫圆心，叫半径，以O为圆心的圆记作⊙O.(2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫，连结圆上任意两点的线段叫，经过圆心的弦叫直径，直径是最长的．(3)圆心角：顶点在，角的两边与圆相交的角叫圆心角．(4)圆周角：顶点在，角的两边与圆相交的角叫圆周角．(5)等弧：在中，能够完全的弧．要点梳理定点定长定点定长弧弦弦圆心圆上同圆或等圆重合2．圆的有关性质：(1)圆的对称性：①圆是图形，其对称轴是．②圆是图形，对称中心是．③旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．轴对称过圆心的任意一条直线中心对称圆心(2)垂径定理及推论：垂径定理：垂直于弦的直径，并且．垂径定理的推论：①平分弦(不是直径)的直径，并且；②弦的垂直平分线，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．平分弦平分弦所对的两条弧垂直于弦平分弦所对的两条弧经过圆心(3)弦、弧、圆心角的关系定理及推论：①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦．②推论：在同圆或等圆中，如果两个，、、中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．相等相等圆心角两条弧两条弦两条弦心距(4)圆周角定理及推论：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的．圆周角定理的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧．②半圆(或直径)所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是．一半相等直角直径(5)点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)：①点P在圆上⇔；②点P在圆内⇔；③点P在圆外⇔.d＝rdrdr(6)过三点的圆：①经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．②三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是三边的交点，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．中垂线[难点正本疑点清源]1．确定一个圆的基本条件，把握圆的定义所谓“确定”包含两层意思：一是说明存在，二是说明唯一，确定一个圆的基本条件有两个：一个是圆心(定点)，一个是半径(定长)，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，二者缺一不可．圆的定义有以下两种说法：一种说法：线段绕它的一个端点在平面上旋转时，另一个端点画出的封闭曲线叫做圆．另一种说法：平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．前者从圆的产生刻画圆，称圆的产生定义；后者从圆的本质属性上刻画它，称圆的内涵定义．集合，是指一切这样的点，因而可以利用它判定一个点是否在已知圆上，从而建立了圆的内部、外部的概念．由于球面上任意封闭曲线、球面上的点都满足到定点(球心)的距离等于定长的要求，所以，圆的定义中，“平面上”这个要求是不可缺少的．同时，两种形式的定义都表明，“圆”指的是“圆周”，不包括被它围起来的平面．2．应用圆的基本性质垂径定理反映了圆的重要性质，是证明线段相等、角相等以及垂直关系的重要依据，事实上，垂径定理及其推论也可以理解为，对于一个圆和一条直线，给出下列五个条件：①直线垂直于弦；②直线过圆心；③直线平分弦(不是直径)；④直线平分弦所对的优弧；⑤直线平分弦所对的劣弧．如果具备其中两个，就能推出其他三个．运用圆心角、弦、弧与弦心距之间的关系定理，可以证明同圆或等圆中弧相等、角相等及线段相等，这个定理也可以理解为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦所对的弦心距中，有一组量相等，那么所对应的其余各组量也分别相等．由该定理又可得到：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等．基础自测1．(2011·绍兴)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠C＝16°，则∠BOC的度数是()A．74°B．48°C．32°D．16°答案C解析∵OA＝OC，∴∠A＝∠C＝16°，∴∠BOC＝∠A＋∠C＝32°.2．(2011·泰安)如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB＝6，则⊙O的半径为()A.2B．22C.22D.62答案A解析连接OA，设AB垂直OC的垂足为D，在Rt△AOD中，AD＝12AB＝62，OD＝12OA＝12r，所以12r2＋622＝r2，解之，得r＝2.3．(2011·德州)一个平面封闭图形内(含边界)任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形(依次为正三角形、正方形、正六边形、圆)的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是()A．a4＞a2＞a1B．a4＞a3＞a2C．a1＞a2＞a3D．a2＞a3＞a4答案B解析设正三角形的边长为1，其“直径”为1，周率a1＝31＝3；同理正方形的周率a2＝42＝22；正六边形的周率a3＝62＝3；圆的周率a4＝2π2＝π.可知a2a1＝a3a4，所以a4a3a2正确．4．(2011·南充)在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，则圆柱形油槽直径MN为()A．6分米B．8分米C．10分米D．12分米答案C解析如图，画OC⊥AB于C，交A1B1于D，设OD＝d，则OC＝d＋1，由勾股定理，得r2＝42＋d2，r2＝32＋(d＋1)2，∴42＋d2＝32＋(d＋1)2，解之，得d＝3，∴r＝42＋32＝5，直径MN＝2r＝10.5．(2011·衢州)一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠ACB＝45°，则这个人工湖的直径AD为()A．502mB．1002mC．1502mD．2002m解析连接BD，有∠ADB＝∠ACB＝45°，又AD是直径，∴∠ABD＝90°.在Rt△ABD中，AB＝100，∴AD＝1002.答案B题型分类深度剖析【例1】(2011·衡阳)如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD＝40°，则∠FCD的度数为______．题型一圆心角与圆周角的关系解析∵直径CD过弦EF的中点，∴CD⊥EF，DE＝DF.∵∠EOD＝40°，∴DF＝DE＝40°.∴∠FCD＝20°.答案20探究提高当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对的圆周角或圆心角，“一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半”，通过求等的弧把角联系起来．知能迁移1(1)(2011·重庆)如图，已知AB为⊙O的直径，∠CAB＝30°，则∠D＝_________.答案60°解析∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠CAB＝30°，∴∠B＝60°.∴∠D＝∠B＝60°.(2)(2011·乐山)如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，若∠BOC＝40°，则∠ABD＝()A．40°B．60°C．70°D．80°答案C解析∵直径AB⊥弦CD，∴BC＝BD.∵∠BOC＝40°，∴BC＝BD＝40°.∴AD＝140°，∠ABD＝70°.题型二圆内接四边形【例2】一条弦的长度等于它所在的圆的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是________．答案30°或150°探究提高在很多没有给定图形的问题中，常常不能根据题目的条件把图形确下来，因此会导致解的不唯一性，这种题一题多解，必须分类讨论．本题中，弦所对的圆周角不是唯一的，圆周角的顶点可能在优弧上，也可能在劣弧上，依据“圆内接四边形的对角互补”，这两个角互补．知能迁移2(2010·威海)如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是________．答案105°解析∵OA＝OD，∠AOD＝30°，∴∠A＝12×(180°－30°)＝75°.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＋∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°－∠A＝180°－75°＝105°.题型三圆的轴对称性【例3】如图，已知AB、CD是⊙O的弦，M、N分别是AB、CD的中点，且∠AMN＝∠CNM.求证：AB＝CD.探究提高连接OM、ON，则OM⊥AB，ON⊥CD，OM、ON分别是弦AB、CD的弦心距，“有弦常作弦心距”，这是一个常用的方法．解证明：连接OM、ON，∵M、N分别是AB、CD的中点，∴OM⊥AB，ON⊥CD.∴∠AMO＝∠CNO＝90°.∵∠AMN＝∠CNM，∴∠OMN＝∠ONM，∴OM＝ON.又OM⊥AB，ON⊥CD，∴AB＝CD，AB＝CD.知能迁移3(1)(2011·上海)如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝3，那么BC＝_________.答案6解析∵OM⊥AB，ON⊥AC，∴AM＝BM，AN＝CN，∴MN是△ABC的中位线，∴MN＝12BC，即BC＝2MN＝2×3＝6.(2)如图，在⊙O中，已知AC＝BD，求证：(1)OC＝OD；(2)AE＝BF.解①连接OA、OB.∵OA＝OB，∴∠A＝∠B.∵AC＝BD，∴△OAC≌△OBD，∴OC＝OD.②∵△OAC≌△OBD，∴∠AOC＝∠BOD，∴AE＝BF.题型四建模思想，解决管道水位问题【例4】某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面．若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！解：如图，设弦AB表示水面，O为圆心，过O画OD⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，根据垂径定理，有AC＝BC.设OA＝OD＝r，[2分]在Rt△AOC中，AC2＋OC2＝OA2，∴82＋(r－4)2＝r2，[4分]解得，r＝10.[6分]答：这个圆形截面的半径是10cm.探究提高这是一道实际问题，关键是将其转化为数学问题．由于管道是圆形的，因此可以把水面宽度看作弦长，从而利用垂径定理构造直角三角形，再利用勾股定理、方程思想来求解．知能迁移4在直径为400mm的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽320mm，求油的深度．解如图①，在Rt△AOC中，AO＝200，AC＝160，∴OC＝120，∴CD＝OD－OC＝200－120＝80.如图②，在Rt△AOC中，AO＝200，AC＝160，∴OC＝120，∴CD＝OD＋OC＝200＋120＝320.答：油的深度为80mm或320mm.图①图②易错警示17．忽忘外心在形外试题△ABC内接于半径为r的⊙O，且BCABAC，OD⊥BC于D，若OD＝12r，求∠A的度数．学生答案展示当圆心在△ABC内时，如图，连接OB、OC.∵OD＝12r＝12OC，OD⊥BC，∴∠OCD＝30°，∴∠DOC＝60°.同理，∠BOD＝60°.∴∠BOC＝120°.∴∠A＝60°.当圆心O在△ABC外时，如图，同上，可求得∠BOC＝120°，∴∠A＝∠BOC＝120°.综上，∠A的度数为60°或120°.剖析上述解法看上去好像思考周全，考虑了两种情况，其实又错了，因为BCABAC，BC是不等边△ABC的最大边，所以∠A＝60°不正确，产生错误的根源是图画得不准确，忽视了圆心的位置，实际上本题的圆心应在△ABC的外部．正解∵OD＝12r＝12OC，OD⊥BC.∴∠OCD＝30°，∠DOC＝60°.同理，∠BOD＝60°.∴∠BOC＝120°.∴BAC度数为120°，BmC度数为240°，∴∠A＝120°.批阅笔记提起三角形的外心，同学们容易画出图形，其中O是△ABC的外心(即O是△ABC外接圆的圆心)．其实，有些问题中三角形的外心并不在三角形的内部，而在外部．因此，解答圆内接三角形问题时，要注意对圆心进行探讨，特别是未明确圆心位置时，不要随意解答．思想方法感悟提高方法技巧1.注意在同圆或等圆中，弦与弧等量关系的互相转化．2.补全圆面的关键在于确定圆心．确定圆心时，主要根据圆的定义，取弧上的两条弦，作出两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．3.若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，利用以