频域分析法

第五章频域分析法—频率法5.1频率特性一、基本概念系统的频率响应定义为系统对正弦输入信号的稳态响应。系统r(t)c(t)稳态输出的振幅与输入振幅之比,称为幅频特性。稳态输出的相位与输入相位之差,称为相频特性。crAMA一个稳定的系统，假设有一正弦信号输入r()sinrtAt其稳态输出可写为c()sin()ctAtAc-稳态输出的振幅-稳态输出的相角二、求取频率特性的数学方法RC网络的传递函数为cr()1()()1UssUsTsTRC如果输入正弦电压信号rrsinuAt其拉氏变换rr22()AUss所以系统的输出为rcr221()()()1AUssUsTss查拉氏变换表，得Uc(s)的原函数uc(t)rrc2222()esin(arctan)11tTATAuttTTT式中第一项为动态分量，第二项为稳态分量。rc22lim()sin(arctan)1tAuttTT幅频特性和相频特性221/1T-arctanT01/2T1/T2/T3/T4/T5/T0000.890.7070.450.320.240.20-26.6-45-63.5-71.5-76-78.7-90幅频和相频特性曲线221jjarctan1j221sin(arctan)11eej111jTTtTTTTTj111j1sTTs只要把传递函数式中的s以j置换，就可以得到频率特性，即RC网络的频率特性s=j(j)=()s将(j)以模幅式表示，则jjjjjeeM故幅频特性jM相频特性j频率特性和传递函数、微分方程的置换关系图动态数学模型三、频率特性图示法1.直角坐标图幅频特性：纵坐标为M，线性分度；横坐标为，线性分度。相频特性：纵坐标为，线性分度；横坐标为，线性分度。2.极坐标图频率特性(j)(j)(j)()()M幅相特性：以频率作为参变量，将幅频与相频特性同时表示在复平面上。当频率从零到无穷变化时，矢量(j)的端点在复平面上描绘出一条曲线，即为幅相特性曲线，又称奈奎斯特曲线。Oj1惯性环节的幅相特性曲线0M()10()0-903.对数坐标图—伯德图(H.W.Bode)对数频率特性曲线又称伯德图，包括对数幅频和对数相频两条曲线。对数频率特性曲线的横坐标表示频率，并按对数分度，单位是1/s。对数幅频曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值，线性均匀分度，单位是分贝，记作dB。对数幅频特性定义为20lg()()LM对数相频曲线的纵坐标表示相频特性的函数值，线性均匀分度，单位是度或弧度。12345678910lg00.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541采用对数坐标图的优点是：(1)可以将幅值的乘除转化为加减。(2)可以采用简便方法绘制近似的对数幅频曲线。(3)扩大了研究问题的视野。在一张图上，既画出频率特性的中、高频段特性，又能画出其低频特性，而低频特性对分析、设计控制系统来说是极其重要的。对数幅频和对数相频特性曲线5.2典型环节的频率特性一、比例环节(放大环节)传递函数：G(s)=K频率特性:G(j)=K幅频特性：()(j)MGK相频特性：()(j)0G对数幅频特性：()20lg()20lgLMK伯德图幅相曲线二、积分环节传递函数：1()Gss频率特性：1(j)jG幅频特性：1()(j)MG相频特性：()(j)90G对数幅频特性：1()20lg()20lg20lgLM幅相曲线伯德图三、微分环节传递函数：()Gss频率特性：(j)jG对数幅频特性：()20lgj20lgLG对数相频特性：90幅相曲线伯德图四、惯性环节传递函数：1()1GsTs频率特性：1(j)j1GT对数幅频特性：2221()20lg(j)20lg120lg120lg120lg1LGTTT对数相频特性：(j)arctanGT幅相曲线近似对数幅频特性：当时，，略去则得1T1T2()T2()20lg120lg10LT扩展为只要，则L()=0。1T当时，，，略去1，得1T1T2()1T22()20lg120lg20lgLTTT扩展为只要，就以近似地代替之。1T()20lgLT显然在转折频率处，近似精度最低。其最大误差为1T2120lg120lg23dBTT定义为转折频率，也是特征点。1T其幅频特征值为对数幅频特征值为10.707MT13dBLT特征点：1,()3dB,45LT惯性环节的伯德图五、一阶微分环节传递函数：()1Gss频率特性：jj1G对数幅频特性：2()20lgj20lg1LG对数相频特性：()arctan特征点：1,()3,45LdB幅相曲线一阶微分环节的伯德图六、振荡环节传递函数：2n222nnnn1()221Gsssss频率特性：22nnnn11(j)j22j11jG对数幅频特性：222nn2()20lg(j)20lg1LG特征点：n1,()20lg,902L对数相频特性：2n2()arctan1n幅相曲线根据幅频特性和相频特性公式计算出频率特性1Oj渐近对数幅频特性：当n时，即/n1时，则略去/n，近似取()20lg(j)20lg10dBLG在低频段的渐近特性是一条与横轴相重合的直线。当n时，即/n1时，则略去1和近似取n22nn()20lg(j)20lg40lgLG这是一条在处过横轴且斜率为-40dB/十倍频程的直线。n为转折频率n没有考虑阻尼比的影响。n222nn220lg1020lg2在转折频率处渐近特性与精确特性线误差为对于不同的阻尼比，振荡环节的精确对数幅频特性对数相频特性：七、二阶微分环节传递函数：22()21Gsss频率特性：22(j)j2j1G对数幅频特性：2222()20lgj20lg12LG对数相频特性：222arctan1幅相曲线:01,0;=,=180MM时，时，二阶微分环节的伯德图八、一阶不稳定环节传递函数：1()1GsTs频率特性：1(j)j1GT对数幅频特性：21()20lg(j)20lg1LGT对数相频特性：(j)arctan1TG幅相特性:01,180;12,135;2=0,90MMTM时，时，时，一阶不稳定环节的伯德图非最小相位环节:最小相位环节:非最小相位系统:最小相位系统:九、延迟环节数学表达式：()()ctrt传递函数：()esGs频率特性：j(j)eG()j1MG幅频特性：相频特性：jG对数幅频特性：()20lgj20lg10LG幅相特性曲线伯德图伯德图5.3控制系统的开环频率特性系统的开环频率特性曲线分为：开环幅相特性曲线和开环对数频率特性曲线。一、开环幅相特性曲线的绘制设系统的开环传递函数由若干个典型环节相串联123()()()()GsGsGsGs其开环频率特性123(j)(j)(j)(j)GGGG3113j(j)j(j)j2(j)123j[(j)2(j)(j)]123(j)(j)e(j)e(j)e(j)(j)(j)eGGGGGGGGGGGGG所以，系统的开环幅频和相频分别为123123()(j)(j)(j)(j)()()()MGGGGMMM123123()(j)(j)(j)(j)()()()GGGG1.开环幅相特性曲线的绘制例某0型单位负反馈控制系统，系统开环传递函数为，试绘制系统的开环幅相曲线。12()(1)(1)KGsTsTs解：当=0时G(j0)=K0当=时G(j)=0-18012(j)(j1)(j1)KGTT0型系统幅相特性曲线系统的开环幅相曲线例某单位负反馈控制系统，系统开环传递函数为，试绘制系统的开环幅相特性曲线。12()(1)(1)KGssTsTs解：当=0时G(j0)=-90当=时G(j)=0-27012(j)j(j1)(j1)KGTT开环幅相特性曲线各型系统幅相特性曲线的概略图例某单位负反馈控制系统，系统开环传递函数为，试绘制系统的开环幅相特性曲线。1123(1)()(1)(1)(1)KsGsTsTsTs解：1123(j1)(j)(j1)(j1)(j1)KGTTT当=0时G(j0)=K0当=时G(j)=0(90-270)=0-180取T1、T2大于1，1T3时，系统的开环幅相特性曲线为系统的开环幅相曲线2.系统开环幅相特性的特点①当频率=0时，其开环幅相特性完全取决于比例环节K和积分环节个数。②0型系统起点为正实轴上一点,I型及I型以上系统起点幅值为无穷大,相角为-·90。③当频率=时，若nm(即传递函数中分母阶次大于分子阶次)，各型系统幅相曲线的幅值等于0，相角为-(n-m)·90。④G(j)曲线与负实轴交点坐标，是一个关键点，其交点坐标可由下列方法确定。(a)令G(j)=-。解出与负实轴交点处对应的频率x的值。再将x代入|G(j)|中，求得与负实轴交点的模值。(b)令()=0解出x，再将x代入u(x)中，求得与负实轴交点的坐标。j(j)(j)(j)e()j()GGGu二、伯德图的绘制系统的开环幅频和相频123123()(j)(j)(j)(j)()()()MGGGGMMM123123()(j)(j)(j)(j)()()()GGGG系统的开环对数幅频和对数相频特性开环对数幅频123()20lg()20lg()20lg()20lg()LMMMM开环对数相频123()()()()系统开环对数幅频等于各环节对数幅频之和；系统开环对数相频等于各环节对数相频之和。解决这方面的问题要求掌握：(1)正问题能熟练地绘制系统的伯德图。即已知系统的开环传递函数，在半对数坐标纸上绘制出系统开环对数频率特性。(2)反问题会求传递函数。即已知对数幅频特性曲线（或实验曲线），能反求其传递函数。解决正问题的方法与绘制对数幅频特性曲线的步骤：1.确定出系统开环增益K，并计算。20lgK2.确定各有关环节的转折频率，并把有关的转折频率标注在半对数坐标的横轴上。3.在半对数坐标上确定=1(1/s)且