微积分经管类

微积分(经管类)蔡光兴李德宜主编科学出版社第一章函数与Mathematica入门•§1.1集合•§1.2函数•§1.3经济学中常用的函数说明：本章内容与高中知识有部分重合，可以整理复习为主。重点：邻域的概念；复合函数和反函数的概念。§1.1集合1.1.1集合的概念集合:具有某种特定性质的事物的总体称为集合.集合一般用大写字母A,B,C……表示不含任元素a属于集合M,记作a∈M元素a不属于集合M,记作aMaM或注意!!空集不能同仅含有元素“0”的集合{0}相混淆．何元素的集合称为空集,记为Ø按某种方式列出集合中的全体元素.集合的表示方法表示法：(1)列举法：(2)描述法：xMx所具有的特征例:自然数集{0,1,2,...,,...}Nn{}ZxxNxN或{,,}pQpZqNpqq且互质例:整数集合有理数集实数集合{}Rxx为有理数或无理数例如,,若且则称A与B相等,.BA记作子集:如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，即如果a∈A，则a∈B，那么A就是B的子集，记为或，读作A包含于B或B包含A.ABAB显然有下列关系:(2)(3)ABABBA1.1.2集合的运算AB并集A∪B={或}Axx|交集A∩B={且}Axx|交集A-B={且}BxAxx|(A关于B的)补集}|{cAxBxxAB且A∪BA-BA∩BcbA集合运算有如下性质：（1）交换律：①A∪B=B∪A；②A∩B=B∩A．（2）结合律：①A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；②A∩(B∩C)=(A∩B)∩C．（3）分配律：①A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；②A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)．（4）对偶律：①(A∪B)c=Ac∩Bc；②(A∩B)c=Ac∪Bc．1.1.3实数与数轴数轴具有原点、正方向和单位长度的直线称为数轴(如下图)注意!!1.有理点在数轴上是处处稠密的(即在数轴上任意两个有理点之间也有无穷多个有理点存在).2.数轴上的点与实数之间是一一对应的.1.1.4区间、邻域开区间闭区间半开区间无限区间[,){}abxaxb[,]{}abxaxb(,]{}abxaxbxaxbxR(,){}abxaxb邻域:0000{}(,),,xxxxUxx数集称为点的邻域,记作为邻域的中心为领域的半径去心邻域:0{0}xxx使每一个x∈D都有一个确定的实数y与之对应,称f为函数§1.2函数是一个非空实数集合，D设f为一个对应规则，定义在D上的一个函数关系，或称变量y是关于变量x的函数，记作y=f(x),x∈Dx----自变量y----因变量D----定义域，可记为D(f)----值域}),(|{DxxfyyW1.2.1函数的概念符号函数当x0当x=0当x0xyo11取整函数当xyo134212函数的图形:平面点集}),(|),{(DxxfyyxC1.2.2.函数的几种特性设函数,,)(Dxxfy且有区间.DI1.有界性,Dx,0M使,)(Mxf称)(xf,Ix,0M使,)(Mxf称)(xf为有界函数.在I上有界.xxf1)(),1[函数在半开区间上是有界的xysin),(在内是有界的函数但是在开区间(0，1)内是无界的例如:为I上的,)()(21xfxf若,,21Ixx2.单调性21xx时,,)()(21xfxf若称)(xf为I上的称)(xf单调增函数;单调减函数.1x2xxy2xy),0[函数在区间上单调增加，]0,(上是单调减少的在区间xyoxx3.奇偶性,Dx设定义域D关于原点对称,若则称f(x)为偶函数;说明:若)(xf在x=0有定义,.0)0(f)(xf为奇函数时,则当必有例如,都是偶函数12xyxycos例如,都是奇函数3xyxxysin2，若,则称f(x)为奇函数.()()fxfx4.周期性,0,lDx且,Dlx则称)(xf为周期函数,xo2y2若称l为周期(一般指最小正周期).周期为周期为注:周期函数不一定存在最小正周期.例如常量函数Cxf)(狄里克雷函数x为有理数x为无理数,1,01.复合函数1),(Duufy1)(DDg且则设函数称为由f,g确定的复合函数,u称为中间变量.例函数,arcsinuy但函数22,arcsinxuuy不能构成复合函数.可定义复合函数331,,1221.2.3复合函数和反函数2.反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,Dxxfy,)(的反函数记成)(,)(1Dfxxfy称此映射1f为f的反函数.其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,),(,xeyx对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.)(xfyxyxyo指数函数基本初等函数是指下列五类函数：1.2.4基本初等函数xyxyxyxyxyxycsc,sec,cot,tan,cos,sinarcsin,arccos,arctan,arccotyxyxyxyxxy（1）幂函数(a为常数)．xay（2）指数函数(a0，a≠1)．xyalog（3）对数函数(a0，a≠1)xyxyxyxyxyxycsc,sec,cot,tan,cos,sin（4）三角函数arcsin,arccos,arctan,arccotyxyxyxyx（5）反三角函数初等函数由以上五种基本初等函数和常数经过有限次四则运算和有限次的函数复合而构成的可以用一个式子表示的函数称为初等函数．21xyxy2sin2cotxy,,都是初等函数,sin,)(2xxxfx0x≤0不是初等函数§1.3经济学中常用的函数•掌握常用的经济函数,会建立简单的经济问题的函数关系式。在经济活动中，总成本由固定成本和变动成本两部分组成．例1设某厂生产某种产品的最大生产能力为b个单位，至少要生产a个单位，固定费用为C1元，每生产1个单位产品，变动费用增加C2元，试求总成本函数．解设q表示总产量，则q只能在[a,b]内取值，生产q个单位的变动成本为C2q．所以总成本1.3.1总成本函数qCCC21],[baq收益函数就是销量与价格的乘积，以q代表销量，代表价格，p代表收益，则有R=p×q如果把p看做是q的函数，则收益也是q的函数，即R=p×q=R(q)1.3.2收益函数1.3.3利润函数收益与成本之差就是利润L,即)()(qCqRL平均成本就是总成本除以总产量所得的值，也就是平均单位产品的成本．设产量为q，总成本为C(q)，则平均成本(记为A.C)为A.C=C(q)/q商品的价格与市场的供求情况密切相关．一般说来，价格p是销售量q的函数：p=f(q)1.3.4平均成本函数1.3.5价格函数例2设某批发站批发两万个某品牌电子词典给零售商，目前该种电子词典的订价120元，若批发站每次多批发2000个该品牌电子词典，市面上该种电子词典的价格就相应地降低2元，现批发站最多只能批发5万个给零售商，最小销量为2万个，试求价格函数（即销售量对价格的影响）．解设以q代表电子词典销量，则q只能在[20000，50000]上取值，按每多销售2000个，价格相应减少2元的比例，多销售q-2000个，价格相应减少了2×(q-2000)/2000个，价格函数为p=120-2×(q-2000)/2000即p=140-q/1000,q∈[20000,50000]在上例中把价格看做是销售量（需求量）的函数．反过来，需求量看做是价格的函数q=f(p)．一般地需求量是随价格的提高而减少的．例3某厂生产的某种电子产品市场需求情况如下：价格为100元时，销售量为3万件；价格每降2元，需求量增加5000件；价格在100元基础上每提高2元，需求量减少1000件．求需求函数．解由题设条件p=100（元）时，q=3000（件）=30（千件）；p100（元）时，销量q减少(p-100)×1000/2（件）=(p-100)/2（千件）销量q=30-(p-100)/2=80-p/2(千件)1.3.6需求函数p100（元）时，销量q增加(100-p)×5000/2（件）=(100-p)×5/2（千件）这时销量q=30+(100-p)×5/2=280-5p/2（千件）故需求函数,280,30,25280ppq0≤p100p100p100考虑市场供应方，当商品提供者能得到的商品价格增加时，我们可望供应者增加它们的产品的供应量，因此供应量也是价格的函数Q=f(p)．一般地，供给函数是随价格的提高而增大．例4设电子词典的价格为120元时，厂家可提供2万个电子词典，当价格每增加2元时，厂家可多提供2000个，试求供应函数．解p为价格，q为电子词典供应量，依题意有：q=20000+20000×(p-120)/2即q=1000×(p-100)1.3.7供给函数常用的供给函数有如下几种类型：线性供给函数Q=-d+cp（c0，d0）由图可见，为价格的最低限，只有当价格大于d/c时，生产者才会供应该商品.Q=(ap-b)/(cp+d)（a0，b0，c0，d0）由图可见，该商品的最低价格为p=b/a，而当价格上涨时，该商品有一饱和供给量a/c