线性代数课件-第三章-矩阵的初等变换与线性方程组——4

2020/6/20线性代数课件线性代数2020/6/20线性代数课件第三章矩阵的初等变换与线性方程组2020/6/20线性代数课件定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.E三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.一、初等矩阵的概念行（列）上去．乘某行（列）加到另一以数乘某行或某列；以数对调两行或两列；kk.30.2.12020/6/20线性代数课件，得初等方阵两行，即中第对调)(,jirrjiE对调两行或两列、11101111011),(jiE行第i行第j2020/6/20线性代数课件，得左乘阶初等矩阵用nmijmaAjiEm)(),(mnmminiijnjjnmaaaaaaaaaaaaAjiE21212111211),(行第i行第j).(jirrjiAA行对调行与第的第把：施行第一种初等行变换相当于对矩阵2020/6/20线性代数课件，右乘矩阵阶初等矩阵以类似地，AjiEnn),(mnmimjmnijnijnaaaaaaaaaaaajiAE12222111111),().(jiccjiAA列对调列与第的第把：施行第一种初等列变换相当于对矩阵2020/6/20线性代数课件02乘某行或某列、以数k)).(()(0kiEkriki矩阵，得初等行乘单位矩阵的第以数1111))((kkiE行第i2020/6/20线性代数课件；行的第乘相当于以数)(kriAkimnmminiinmaaakakakaaaaAkiE212111211))((行第i类似地，，左乘矩阵以AkiEm))(().())((kciAkAkiEin列的第乘相当于以数，其结果矩阵右乘以2020/6/20线性代数课件上去列加到另一行列乘某行、以数)()(03k，列上列加到第的第乘或以行上行加到第的第乘以)([)(ijjikccjiEkkrrijEk1111))((kkijE行第i行第j2020/6/20线性代数课件，左乘矩阵以AkijEm))((mnmmjnjjjninjijinmaaaaaaaakaakaaaaaAkijE2121221111211))(().(jikrrikjA行上加到第行乘的第把2020/6/20线性代数课件).())((ijnkccjkiAAkijE列上加到第列乘的第把，其结果相当于右乘矩阵类似地，以mnmjmjmimnjjinjjinaakaaaaakaaaaakaaakijAE1222221111111))((2020/6/20线性代数课件定理1设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.nmmnAAAAA二、初等矩阵的应用初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵2020/6/20线性代数课件),(),(1；则的逆变换是其本身，变换jiEjiErrji));1(())((11kiEkiEkrkrii则，的逆变换为变换.))(())(()(1kijEkijErkrkrrjiji则，的逆变换为变换2020/6/20线性代数课件定理2设A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵.,,,,2121llPPPAPPP使证,~EA使即存在有限个初等方阵,,,,21lPPPAPEPPPPlrr121.PPPAl21即.,:~BPAQQnPmBAnm使阶可逆方阵及阶可逆方阵存在的充分必要条件是矩阵推论,AE经有限次初等变换可变故2020/6/20线性代数课件利用初等变换求逆阵的方法：，有时，由当lPPPAA210,11111EAPPPll,111111AEPPPll及EPPPAPPPllll11111111111AEEAPPPll11111.)(21AEEAEAnn就变成时，原来的变成当把施行初等行变换，矩阵即对2020/6/20线性代数课件.,3431223211AA求设解例１103620012520001321100343010122001321EA122rr133rr21rr23rr2020/6/20线性代数课件11110001252001120121rr23rr111100563020231001312rr325rr312rr325rr）（22r）（13r.111253232311A11110025323010231001）（22r）（13r2020/6/20线性代数课件.1BA矩阵的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵E)()(11BAEBAA)(BABA1即初等行变换2020/6/20线性代数课件例２.341352,343122321,BABAXX，其中使求矩阵解.1BAXA可逆，则若343431312252321)(BA2020/6/20线性代数课件1226209152052321311009152041201311006402023001122rr133rr21rr23rr312rr325rr2020/6/20线性代数课件，311003201023001.313223X）（22r）（13r311006402023001312rr325rr2020/6/20线性代数课件.1CAY即可得作初等行变换，也可改为对),(TTCA,1作初等列变换，则可对矩阵如果要求CACAY,CA1CAE列变换),)(,(),1TTTTCAECA（列变换TT1C)(AYT即可得,C)(T1TA.Y即可求得2020/6/20线性代数课件.,1000110011102222A1,njiijAAn式之和中所有元素的代数余子求方阵已知解例3,02A.可逆A.1*AAA且2020/6/20线性代数课件10001000010011000010111000012222EA1000100011000100011000100012100012020/6/20线性代数课件,100011000110001211A,21*AAnjiijA1,故.1)]1()1(21[2nn2020/6/20线性代数课件三、小结1.单位矩阵初等矩阵.一次初等变换2.利用初等变换求逆阵的步骤是:;1EAEA或构造矩阵.,,(,,211AEEAEAAEEAEA对应部分即为后划为单位阵将变换施行初等列或对对应部分即为右边后化为单位矩阵将施行初等行变换对2020/6/20线性代数课件思考题.010102001的乘积表示成有限个初等方阵将矩阵A2020/6/20线性代数课件思考题解答解可以看成是由3阶单位矩阵经4次初等变换,AE3331321,1,2,crccrr而得.而这4次初等变换所对应的初等方阵为:,0101000011P,1020100012P,1000100013P2020/6/20线性代数课件.1000100014P由初等方阵的性质得4213PEPPPA.4213PPPP