从古典几何到现代几何

从古典几何到现代几何刘建成教授西北师范大学数信学院[e-mail]2009.4.20几何原本在差不多一百年前，几何就是欧几里得。他在公元前三百年左右写了一部大书，中文叫做《几何原本》。事实上在当时的社会，几何并不被大家所注意，所以像欧几里得这样伟大的人，我们也不大知道他的生平。这本书是人类文化史上一部非常伟大、有意义的著作，它的主要结论有两个：几何原本的主要结论毕达哥拉斯定理(勾股定理)：有一直角三角形ABC，则长边的平方会等于其它两边的平方和。由几何方面来说，如果我们在三边上各作一个正方形，那么两个小正方形的面积和就会等于大正方形的面积。内角和定理：三角形三内角之和等于180°，如果以弧度(radian)为单位，也可以说三角形三内角之和等于π后人称颂毕达哥拉斯定理，说它是平面几何中最重要的定理。迄今为止，在任何有意义的几何空间中，都要求这条定理在无穷小的情形下成立。三角形内角和为180˚，本质上是说平面是平坦不具有弯曲的。Legendre首先指出它等价于下面所给出的命题：Legendre毕达哥拉斯欧氏几何对后世的影响内角和定理的等价命题一直线与其它二直线相交后，假设其同侧二内角和少于二直角，则沿此侧面延长此二直线，它们必会在某处相交。欧氏第五公设另一个简单的说法是：假使有一直线和线外一点，那么通过那个点就刚刚好只有一条直线和原来的直线平行（平行者，就是这两条直线不相交）这个说法即欧氏第五公设。第五公设证明的失败这个平行公理在所有公理之中是最不明显的，所以数学家或是对数学有兴趣的人便想从其它的公理去推得平行公理。而这努力延持了两千年左右，后来证明这是不可能的，于是有了非欧几何学的发现，这在人类思想史上是非常特别、有意思的事实。下面是一些尝试去用欧氏其它公理去证明第五公理的人：Ptolemy(168)Prolos(410-485)NasiraldinalTusi(1300)LevibenGerson(1288-1344)Cataldi(1548-1626)GiovanniAlfonsoBorelli(1608-1679)GiordanoVitale(1633-1711)JohnWallis(1616-1703)GerolamoSaccheri(1667-1733)JohannHeinrichLambert(1728-1777)AdrienMarieLegendre(1752-1833)LambertPtolemyBorelli第五公设证明的失败最后，高斯、Bolyai和罗巴切夫斯基不约而同地发明了双曲几何──曲率为负常数的二维曲面。故老相传，高斯曾测量在Harz山脉中由Inselberg、Brocken和Hoher三地形成的三角形，看看其内角和是否等于180˚。高斯Bolyai羅巴切夫斯基双曲几何克莱茵（F.Klein）创造了一种解析的方法，通过赋与在单位圆盘上任意两点的某种距离，给出双曲几何的一个模型。后人称之为Klein模型。至此，人们终于证明了欧氏第五公理不可以由其它公理推导出来。双曲几何给出第一个抽象而与欧氏不一样的空间，影响到黎曼的工作。KleinModel和非欧几何的诞生球面几何球面几何：球面上当然没有“直线”，取而代之的是“大圆”------球面上以球心为圆心的的圆。“线段”则是大圆的圆弧。过球上任意不是对径点的两点，都有唯一的大圆把它们连起来。类似的，我们还可以定义两条大圆弧的夹角为相应切线的夹角。遗憾的是，由于任意两个大圆都有两个交点，球面几何并不在欧氏几何的体系内。球面几何球面几何：球面几何所讨论的三角形是一个球面三角形，在这个情形下，三角形三内角之和会大于180°，并且有一个非常重要的公式：球面几何是非常有用的几何，天上（天文），地上（地理）都用得着它。要是没有球面几何学，大航海时代恐怕很难到来，谁让地球是圆的呢？2RCBA面积球面三角形效果图双曲几何、非欧几何双曲几何：在这个情形下，三角形三内角之和是小于180°的，即有如下的重要公式：非欧几何：球面几何与双曲几何统称为非欧几何。2RCBA面积内角和公式的解释代表非欧几何的一个绝对的度量，表示弯曲程度，叫曲率。因此有曲率的观念跑到这样一个简单的公式里。这在数学或物理上是一个重要发展，因为爱因斯坦的相对论中，曲率＝代表一个场的力，所以几何度量和物理度量便完全一样。2RCBA面积2/1R2RCBA面积2/1R内角和公式的解释球面几何中曲率是正的，双曲几何中曲率是负的。而其相对应的三角形三内角和，也分别有大于或小于180°之情形，不再满足欧几里得的平行公理。从这些公式可以看出，三角形的面积越小，它越像欧氏几何。今天的我们知道，之所谓我们感觉自己生活在欧氏空间里，是因为我们生活的尺度和宇宙比起来太小太小了。非欧几何一度被视为“幽灵”科学史上每次出现新生事物总有个被误解然后慢慢被承认的过程。牛顿的无穷小量也好，虚数也好，都在很长的时间里被人们视为“幽灵”。罗巴切夫斯基发现了新的几何后，自己也觉得这个东西实在太古怪。他把这种几何称为“想象的几何”。要人们接受这种想象的几何实在不容易。罗巴切夫斯基试图将双曲几何和人们熟悉的球面几何联系起来，说服人们双曲几何只是球面几何的一个兄弟。他的想法是正确的，但他并未完全成功。高斯发现三角形内角和减去180˚后与曲率和三角形面积的乘积相等，高斯把这个性质推广成为一条有关曲率的积分方式。高斯-Bonnet公式在现代几何和拓扑学中非常重要。陈省身先生将它推广到高维空间，而最后发展成陈氏类，这个发展为近代时空创造了宏观的看法。在近代的弦学中，时空的质子数目与陈氏类有关。陈省身陈氏示性类)(2dASKS要等到费马（1629）和笛卡儿（1637）引入坐标系统后，人们才能用代数的方式来表示运动轨迹。笛卡儿（1596-1650）：「我已铁定了心，扬弃抽象的几何学，它探讨的问题，除了能够锻炼头脑外，就没有什么用处。代而之我要研究那些以解释大自然现象为目标的几何。」“Ihaveresolvedtoquitonlyabstractgeometry,thatistosay,theconsiderationofquestionswhichserveonlytoexercisethemind,andthis,inordertostudyanotherkindofgeometry,whichhasforitsobjecttheexplanationofthephenomenaofnature.”費馬解析几何笛卡兒解析几何欧几里得几何之后，第二个重要的发展是坐标几何。这是法国哲学家、数学家笛卡儿（1596～1650年），对于研究几何，引进了坐标的概念，因此可用解析的方法来处理几何的问题。坐标就是说：假使在X-Y平面上，有两个轴：X轴和Y轴，那么一个点的两个X、Y坐标，就分别以如下图中的两个相对应的度量来表示:解析几何解析几何的理论价值这样的发展不但使几何问题的处理容易些，更有其重大的意义：解析之后，使可研究的图形的范围扩大，除了直线的一次方程式，或者圆周的二次方程式，我们还可以取任意的方程式f(x,y)=0，讨论所有点它的坐标(x,y)适合这样方程式的轨迹。因此许多用几何的方法很难处理的曲线，在解析化之后，都可从表示它的方程式中得到有关的几何性质。解析几何的理论价值研究的图形不再局限在二维的平面上，可推广至高维的空间。世界上的事情，如果只用二维的平面，往往不足以表示，需要取更多的坐标。例如我们所在的空间是三维，有x、y、z三个度量。假使要用几何来表示物理的问题，那么三个度量之外，尚须加一个时间t，所以物理的空间就变成了四维的空间；解析几何的理论价值不但如此，假使有一点在三维空间运动，那么除了需要(x,y,z)来表示点的位置，还需要这三坐标对时间的微分来表示它的速率，即这就成了六维空间。所以种种的情形都指示我们有必要考虑更高维的空间，来表示自然的现象。解析几何的理论价值解析几何把几何研究的范围大大地扩大了，而科学发展的基本现象，就是要扩大研究的范围，了解更多的情形。笛卡儿的解析几何，便达到了这个目的，使几何学迈入一个新的阶段。笛卡儿发明了解析几何，可说是几何学上的一大突破。他引进坐标系统来描述几何图形，几何和代数因此结合起来了。坐标系统让我们绕过欧氏公理来研究几何图形，它也领导我们进入了高维空间。在笛卡儿的坐标系统中，直线是由线性函数定义的，而圆锥截面则由二次函数决定。利用这种代数的方式，刻卜勒的行星运动定律就变得一清二楚了。刻卜勒第二定律解析几何的应用利用解析几何和微积分，牛顿及其它天文学家对天体的运动进行了巨细无遗的计算。天体的运动是透过欧氏空间的整体坐标系统来描述的，在那里空间是静止的，而时间则独立于空间之外。太阳系鸟瞰牛顿(Newton)(1642–1727)牛顿宣称他的时空是绝对的、静止的。它为宇宙提供一个刚性的、永恒不变的舞台。「对内对外而言，绝对空间都是相似及不动的。」“Absolutespace,initsownnatureandwithregardtoanythingexternal,alwaysremainssimilarandunmovable.”牛顿利用一个旋转水桶的实验，来说明绝对空间的存在性，而惯性坐标便是在绝对空间中静止的坐标。绝对空间几何学的统一19世纪中叶以后，通过否定欧几里得几何中这样或那样的公设、公理，产生了各种新而又新的几何学，除了上述几种非欧几何、黎曼几何外，还有如非阿基米德几何、非德沙格几何、非黎曼几何、有限几何等等，加上与非欧几何并行发展的高维几何、射影几何、微分几何以及较晚才出现的拓扑学等，19世纪的几何学展现了无限广阔的发展前景。在这样的形势下，寻找不同几何学之间的内在联系，用统一的观点来解释它们，便成为数学家们追求的一个目标。克莱因统一几何学的第一个大胆计划是由德国数学家克莱因提出的。1872年，克莱因发表了著名的演讲《爱尔朗根纲要》，阐述了几何学统一的新思想。克莱因的Erlangenprogram他在二十二岁的时候，前往德国小城Erlangen的一所大学任教。依据德国的习惯，新教授上任必须做一次公开演讲，而他讲演的结果──Erlangenprogram，就是这个新几何学。克莱因几何学的新思想所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问。他把几何学建立在群的观念上：一个空间有一个变换群，允许把空间的图形从这个位置移到另一个位置。因此有了一个群之后，便有一种几何，它研究所有经过这个变换群不变的几何性质。这个群可以是欧几里得运动群，也可以是投影变换群，或者其它种种的群。因为群的选择不同，也就得到许多不同的几何学；其中包括非欧几何学。克莱因的Erlangenprogram这样一来，不仅19世纪涌现的几种重要的、表面上互不相干的几何学被联系到一起，而且变换群的任何一种分类也对应于几何学的一种分类。并非所有几何都能纳入克莱因方案，例如今天的代数几何和微分几何，然而克莱因的纲领的确能给大部分几何提供一个系统的分类方法，对几何思想的发展产生了持久的影响。群群是数学上一个基本的结构。数学上总是要运算，加、减、乘、除；研究几何的话，把这个东西从这个位置移动到其它的位置，也是个运算。这样的运算（也称为运动）有一个特别的性质，也就是说：把一个物体从甲地移到乙地，再移到丙地，可直接把物体从甲地移到丙地，即两个运动的结果，可经由一次运动来达成，具有这个特殊性质的，便称其成一群。丰富的研究工具微积分的诞生解决了弯曲对象的计算问题，如曲线的弧长、曲面域的面积、几何体的体积等；代数学的进展使得几何对象能用精确的代数语言来重新描述；微分方程的进展使得几何中最基本的存在性问题得以解决;计算机技术的更新使得几何对象得以直观再现丰富的数学语言使问题的描述更为方便、精确微分几何学的起步解析几何学中用来处理二次曲线和二次曲面的初等代数学方法仍然不能处理一