全等三角形与角平分线经典题型

采得百花成蜜时全等三角形与角平分线为谁辛苦为谁甜I全等三角形与角平分线一、知识概述1、角的平分线的作法（1）在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OD、OE，使OD=OE.（2）分别以D、E为圆心，以大于1/2DE长为半径画弧，两弧交于∠AOB内一点C.（3）作射线OC，则OC为∠AOB的平分线（如图）指出：（1）作角的平分线的依据是三角形全等的条件——“SSS”.（2）角的平分线是一条射线，不能简单地叙述为连接.2、角平分线的性质在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.指出：（1）这里的距离是指点到角两边垂线段的长.（2）该结论的证明是通过三角形全等得到的，它可以独立作为证明两条线段相等的依据.即不需再用老方法——全等三角形.（3）使用该结论的前提条件是有角的平分线，关键是图中有“垂直”.3、角平分线的判定到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.指出：（1）此结论是角平分线的判定，它与角平分线的性质是互逆的.（2）此结论的条件是指在角的内部有点满足到角的两边的距离相等，那么过角的顶点和该点的射线必平分这个角.4、三角形的角平分线的性质三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等.指出：（1）该结论的证明揭示了证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点在第三线上.采得百花成蜜时全等三角形与角平分线为谁辛苦为谁甜II（2）该结论多应用于几何作图，特别是涉及到实际问题的作图题.二、典型例题剖析例1、如图所示，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD.求证：△ABE≌△ADF.例2、如图所示，BE、CF是△ABC的高，BE、CF相交于O，且OA平分∠BAC.求证：OB=OC.例3、如图，D为BC的中点，DE⊥DF，E、F分别在AB、AC边上，则BE＋CF（）A．大于EFB．小于EFC．等于EFD．与EF的大小无法比较例4、（12分）如图四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠D＋∠B=180°，求证：AD＋AB=2AE．采得百花成蜜时全等三角形与角平分线为谁辛苦为谁甜III例5、已知：如图，在四边形ABCD中，AB＞BC，BD平分．求证：AD=CD．例6、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于O点，求证：AE＋CD=AC.三、中考解析1、在△ABC，∠C=90°，BC=16cm，∠A的平分线AD交BC于D，且CD︰DB=3︰5，则D到AB的距离等于（）A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm2、如图，D是△ABC的一个外角的平分线上一点，求证：AB＋ACDB＋DC.采得百花成蜜时全等三角形与角平分线为谁辛苦为谁甜IV3、如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，求证：BF=CG.4、已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．(1)求证：BF=AC；(2)求证：CE=BF；(3)CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论．5、如图，已知∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD，求证：∠BAP＋∠BCP=180°采得百花成蜜时全等三角形与角平分线为谁辛苦为谁甜V6、如图，△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：7、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E.求证：BD=2CE.