高数小论文-浅谈二重积分

1高等数学论文——浅谈二重积分听了肖老师整个大一的数学课，让我深刻的感觉到数学的世界是多姿多彩的，数学的语言的优雅完美的；正如老师所说的一样，他的数学课就像是一篇散文。原来，数学还可以这么学。用几个简单的数学方程，在空间中组合成一个个灵动的图形，这便是二重积分，这也是我想和大家一起分享的解题心得。首先让我们明确定义：有界函数),(yxf在有界闭区域D上的二重积分为iniiiDyfdyxf10),(),(lim。其中，为i（i=1,2,...,n）的直径的最大者，即分割的细度，几何意义：若0),(yxf，则Ddyxf),(表示以D为底，以),(yxfz为顶的曲顶柱体体积。接着分享一下按区域类型化为二次积分的方法：第一种：在直角坐标系下，要将原积分化为二次积分，首先需画出积分区域的图形，然后再根据积分区域的类型，化为二次积分。例如Ddxdyyxf,),(其中，D有直线1yx围成。经分析，该区域D是由1,1,1,1yxyxyxyx四条直线共同围成的正方形区域，该区域不是X型积分区域，也不是Y型积分区域，但以x轴或者y轴来分割，可将其划2分为两个Y型区域或X型区域，如上图},11,01|),{(},11,10|),{(21yxyyyxDyxyyyxD从而DDDdxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf21),(),(),(yyyydxyxfdydxyxfdy11110110),(),(二重积分化为二次积分时，不管选择哪一种积分次序，内层和外层的积分都必须上限大于下限，外层的积分限必须是确定的常数，决不能依赖于内层积分限、一般情况下，内层积分的积分限可以依赖于外层积分的积分变量。如果是Y型区域，射线从左向右穿过区域D，左侧的穿入点满足的曲线方程),(11yxx右侧的穿出点满足的曲线方程)(22yxx分别是内层积分的积分下限，积分上限；如果积分区域为X型区域，则按从下向上穿线的方法来寻找内层积分的积分下限与上限。第二种：某些时候，按给定的二次积分次序积分时，无法积分或者积分比较困难时，则可以通过交换积分次序进行积分，一般地，先由给出的二次积分恢复出二重积分的积分区域，然后再按二重积分化为二次积分的方法化为另一次序的二次积分。例如二次积分yydxxxdyIsin10,由于xxsin的原函数不能用初等函数表示，故内层积分不可行，必须交换积分次序才能求值，注意到内层积分限分别是yxyx,,外层积分限是1,0yy从而积分区域是由直线yxyy,1,0及抛物线yx围成，如右图所示：改成X型积分区域，先对y积分，再对x积分，则3xxdyxxdxI2sin10dxxxxx102)(sin10)sin(sindxxxx1sin1但这里还应该注意，有时候给出的二次积分的积分限不一定是上限大于下限，例如外层积分的上限大于下限，但是内层积分的下限大于上限时，需将得到的二重积分在化为另一个二次积分时，将内层积分限做一调换，如2sinsin1010xxyydyxxdxdxxxdyI。通过这一个学期的学习，让我对自己的数学水平有了进一步的提高，对数学的认识有了很大的改观。在以后的学习中我会更加努力，更加认真细致的做好每一步。土木工程学院1103306彭新2012.5.27