曼哈顿距离的思考

■浙江省天台中学吴涵曼哈顿距离的定义:曼哈顿距离也叫出租车几何,是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的,它是一种使用在几何度量空间图1的几何学用语,用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和。我们用通俗一点的语言来解释:如图1所示,直线①是A、B两点间的直线距离,我们通常把它叫作欧式距离,而其他几条线的长度就是这两点间的曼哈顿距离。虽然我们都知道两点之间线段最短,不过在生活中却不一定能直接来按照最短的那一条直线来走,因为我们只能走有路的地方,而不能“穿墙而过”。曼哈顿距离与我们高中数学中的哪些问题相关呢?问题:在平面直角坐标系中,定义d(P,Q)=x1-x2+y1-y1为两点P(x1,y1),Q(x2,y2)之间的“折线距离”,则圆(x-4)2+(y-3)2=4上一点与直线x+y=0上一点的“折线距离”的最小值是。分析:这里的折线距离就是曼哈顿距离,为了解决这类问题,我们先去研究x+y的性质。对于x+y=a(a0),我们知道这个表示的是一个以原点为中心的平图2行四边形(准确地说是如图2所示的正方形),并且随着a值的不断变大,这个正方形也在逐渐变大,但对于每个正方形中的点(x,y),x+y的值保持不变。例1已知2x+y=4,求x+y的最小值。图3解析:如图3所示,当正方形与直线刚好相交时,x+y的值最小,最小值为2。例2已知x2+y2=1,求x+y的最值。分析:如果将例1、例2题目中的结论“x+y”改为“x-1+y-1”,则“以原点为中心的正方形”就改为“以(1,1)为中心的正方形”。那么我们可以得到以下两个结论。结论一:已知直线l:Ax+By+C=0(AB≠0),P(x0,y0)是直线外一点,Q是直线上一点,过点P(x0,y0)分别作x轴,y轴的垂线,交直线l于点M,N,则:(1)若PM=PN,则当点Q在线段MN上时,两点间的“折线距离”最小,最小值为PN或PM,并且此时直线l的斜率为±1,若点P到直线l的距离为d,则PN=PM=2d;(2)若PMPN,则当点Q在线段MN上时,两点间的“折线距离”最小,最小值为PN;(3)若PMPN,则当点Q在线段MN上时,两点间的“折线距离”最小,最小值为PM。图4结论二:若两条直线l1,l2平行,则l1上任意一点P(x0,y0)到l2上点Q的“折线距离”最小值都相等。根据上述结论我们可以建立如图4所示的平面直角坐标系,并定义d(P,Q)=x1-x2+y1-y1为两点P(x1,y1),9知识篇数学文化与赏析高考数学2018年11月图5􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕Q(x2,y2)之间的“折线距离”,这样求本题的最值就转化为求圆(x-4)2+(y-3)2=4上一点与直线x+y=0上一点的“折线距离”的最小值。解析:将直线x+y=0平移到与圆相切,求出此时的直线方程为x+y-7+22=0,利用结论二可知,圆(x-4)2+(y-3)2=4上一点与直线x+y=0上一点的“折线距离”的最小值是7-22。高考衔接:已知a0,函数f(x)=x2+x-a-3在区间-1,1上的最大值是2,求a的值解析:令t=x2+x-a,x∈-1,1,本题等价于-1≤t≤5恒成立,并至少一边“=”成立。t=x2+x-a,x∈-1,1可以理解为点(x,x2)到点(a,0)的“折线距离”(其中点(x,x2)在y=x2上)。因为a0,y=x2与x-y-14=0相切,所以切点为12,14。由图5所示的图像知点(-1,1)到点(a,0)的“折线距离”最大。当a14时,点(a,a2)到点(a,0)的“折线距离”最小,当a≥14时,切点12,14到点(a,0)的“折线距离”最小。这样就很容易得到a的值为3或者54。(责任编辑刘钟华)■河南省商丘市第一高级中学李祖明高效的高考复习备考,必须准确把握高考的最新动向。最新动向的把握是建立在对新课标思想的深入理解、对最新考纲的深入研究和对近年高考试题细致归纳总结基础上的。笔者在对近十年各地高考试卷深入研究的基础上,对高考立体几何进行合理的总结和预测,力图揭示立体几何高考命题新动向,为高效复习备考支招。一、立体几何命题特点立体几何是高中数学领域的重要模块,是高考考查考生的空间感、图形感、语言转化能力、几何直观能力、逻辑推理能力的主要载体。通过研究近年各地高考试卷,不难发现有关立体几何的命题较稳定,难易适中,体现出“一小一大”的特点。即1~2道小题,1道大题,占17~22分,小题灵活多变且有一定的难度,其中常有组合体的三视图问题和开放型试题;而解答题大多属中档题,其中包含在几何体中考查直线与平面的平行与垂直、空间角与距离的计算等。高考命题既注意“知识的重新组合”,又采用“小题综合化,大题分步设问”的命题思路,朝着“重基础、直观感、空间感、探究与创新”的方向发展。二、客观题命题规律1.以三视图为载体考查空间想象能力。由几何体的三视图识别几何体,由几何体的三视图得到几何体的直观图,由几何体(组合体)的三视图求几何体的表面积和体积等,成为新课标高考必考的内容。2.点、线、面位置关系的问题。直线与平面的位置关系是研究立体几何的核心,主要考查对相关定义、定理的深刻理解,以及对符号语言、图形语言、文字语言三者之间进行转换的能力,以选择题、填空题的形式出现居多,多为判断命题真假、判断充要关系、探求动点轨迹等。01解题篇高考命题新动向高考数学2018年11月