2020年高考数学(理科)一轮复习课件：第九章-第2讲-二项式定理-

第2讲二项式定理1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.1.二项式定理(a＋b)n＝C0nanb0＋C1nan－1b1＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnna0bn，(n∈N*)所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项式展开式.2.二项式定理的特征(1)项数：二项式展开式共有________项.中的第r＋1项.(3)二项式系数：二项式展开式第r＋1项的二项式系数为________.(2)通项公式：Tr＋1＝Crnan－rbr(r＝0,1,2，…，n)表示展开式n＋1Crn(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Crn＝Cn－rn.(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项的二项式系数2Cnn最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数12Cnn，12Cnn相等且最大.(3)各二项式系数的和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝________，其中C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1，即奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于2n－1.3.二项式系数的性质2nA.10B.20C.40D.801.(2018年新课标Ⅲ)x2＋2x5的展开式中x4的系数为()C解析：x2＋2x5的展开式中含x4的项为C25(x2)32x2＝40x4.其系数为40.2.(2014年新课标Ⅰ)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为_________.(用数字填写答案)－20解析：由题意(x－y)(x＋y)8的展开式中得到x2y7可能为xC78xy7－yC68x2y6＝[C78－C68]x2y7＝－20x2y7，其系数为－20.3.(2015年重庆)x3＋12x5的展开式中x8的系数是_______.(用数字作答)52解析：二项展开式通项为Tk＋1＝Ck5(x3)5－k·12xk＝12kCk57152kx，令15－7k2＝8，解得k＝2.因此x8的系数为122C25＝52._______.(用数字填写答案)4.(2016年新课标Ⅰ)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是10解析：(2x＋x)5的展开式的通项为Cr5(2x)5－r·(x)r＝25－rCr5x52r(r＝0,1,2，…，5)，令5－r2＝3，得r＝4.所以x3的系数是2C45＝10.考点1求二项展开式中待定项的系数或特定项数为()A.15B.20C.30D.35例1：(1)(2017年新课标Ⅰ)1＋1x2(1＋x)6展开式中x2的系答案：C解析：因为1＋1x2(1＋x)6＝1·(1＋x)6＋1x2·(1＋x)6，则(1＋x)6展开式中含x2的项为1·C26x2＝15x2，1x2·(1＋x)6展开式中含x2的项为1x2·C46x4＝15x2，故x2前系数为15＋15＝30.故选C.(2)(2017年新课标Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为()A.－80B.－40C.40D.80答案：C解析：(x＋y)(2x－y)5＝x(2x－y)5＋y(2x－y)5，(2x－y)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr5(2x)5－r(－y)r可得：Tr＋1＝Cr5(2x)5－r(－y)r＝25－r(－1)rCr5x5－ryr.当r＝3时，x(2x－y)5展开式中x3y3的系数为C3522(－1)3＝－40；当r＝2时，y(2x－y)5展开式中x3y3的系数为C2523(－1)2＝80；∴(x＋y)(2x－y)5的展开式中的x3y3的系数为80－40＝40.(3)(2015年新课标Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60答案：C解析：方法一，(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.方法二，(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积.所以x5y2可从其中5个因式中选两个因式取y，两个取x2，一个取x.因此x5y2的系数为C25C23C11＝30.(4)(2018年浙江)二项式8312xx的展开式的常数项是__________.答案：7解析：二项式8312xx的展开式的常数项是C28(3x)6·12x2＝8×71×2×122＝7.(5)已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝__________.解析：∵(1＋x)10＝(－1－x)10＝[(－2)＋(1－x)]10，(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，故答案为180.答案：180∴a8＝C810·(－2)2＝180.【规律方法】本题主要考查二项式定理及其运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记二项式展开式的通项即展类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和k的隐含条件，即n，k均为非负整数，且n≥k)；第二步是根据所求的指数，再求特定项.开式的第r＋1项为：Tr＋1＝Crnan－rbr(n∈N*且n≥2，r∈N).解此考点2二项式系数和与各项的系数和例2：在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.解：设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，①由于①是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.各项系数和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10.(1)二项式系数的和为C010＋C110＋…＋C1010＝210.(3)奇数项的二项式系数和为C010＋C210＋…＋C1010＝29，偶数项的二项式系数和为C110＋C310＋…＋C910＝29.(4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，②令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，③②＋③，得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510.∴奇数项系数和为1＋5102；②－③，得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510.∴偶数项系数和为1－5102.【规律方法】“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.(5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝1－5102；x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝1＋5102.【互动探究】1.(2016年上海)在32nxx的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于______.112解析：因为二项式所有项的二项式系数之和为2n，所以2n＝256.所以n＝8.二项式展开式的通项为Tr＋1＝Cr8(3x)8－r·－2xr＝(－2)rCr8x8433r.令83－43r＝0，得r＝2.所以T3＝112.中常数项为()A.－40B.－20C.20D.402.x＋ax2x－1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式解析：方法一，令x＝1，得a＝1.故原式＝x＋1x2x－1x5.2x－1x5的通项Tr＋1＝Cr5(2x)5－r(－x－1)r＝Cr5(－1)r25－rx5－2r，由5－2r＝1得r＝2，对应的常数项为80，由5－2r＝－1，得r＝3，对应的常数项为－40，故所求的常数项为40.故选D.答案：D方法二，用组合提取法，把原式看作6个因式相乘，若第1个括号提出x，从余下的5个括号中选2个提出x，选3个提出1x；若第1个括号提出1x，从余下的括号中选2个提出1x，选3个提出x.故常数项＝x·C25(2x)2·C33－1x3＋1x·C25－1x2·C33(2x)3＝－40＋80＝40.中常数项为()A.－40B.－20C.20D.403.x＋1x2x－ax5的展开式中各项系数之和为2，则该展开式D解析：令x＝1代入得1＋112－a15＝2，∴(2－a)5＝1，a＝1.则该展开式中常数项为xC35(2x)2－1x3＋1xC25(2x)3·－1x2＝40.考点3二项式展开式中系数的最值问题(1)求n的值；(2)求展开式中二项式系数最大的项；(3)求展开式中系数最大的项.例3：已知x＋12xn的展开式中前三项的系数成等差数列.解：(1)由题设，x＋12xn的展开式的通项公式为：Tr＋1＝Crnxn－r12xr＝12rCrnx32nr.故C0n＋14C2n＝2×12C1n，即n2－9n＋8＝0.解得n＝8，n＝1(舍去)，即n＝8.(2)展开式中二项式系数最大的为第五项，则T5＝124C48x3842＝358x2.(3)设第r＋1项的系数最大，则12rCr8≥12r＋1Cr＋18，12rCr8≥12r－1Cr－18，即18－r≥12r＋1，12r≥19－r.解得r＝2或r＝3.故系数最大的项为T3＝7x5，T4＝7x72.【规律方法】(1)求二项式系数最大项：①若n是偶数，则中间一项第n2＋1项的二项式系数最大；②若n是奇数，则中间两项第n＋12项与第n＋32项的二项式系数相等且最大.(2)求展开式系数最大的项：如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用Ak≥Ak－1，Ak≥Ak＋1，从而解出k.【互动探究】4.在32nxx的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则二项展开式的常数项等于______.112解析：∵32nxx的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，∴n＝8.∴展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr8(－2)rx843r，当8－4r3＝0时，r＝2，故它的常数项是T3＝C28(－2)2x0＝112.故答案为112.易错、易混、易漏⊙组合数公式的应用例题：(2016年江苏)(1)求7C36－4C47的值；(2)设m，n∈N*，n≥m，求证：(m＋1)Cmm＋(m＋2)Cmm＋1＋(m＋3)Cmm＋2＋…＋nCmn－1＋(n＋1)Cmn＝(m＋1)Cm＋2n＋2.思路点拨：(1)根据组合数公式化简求值.(2)设置(1)目的指向应用组合数性质解决问题，而组合数性质不仅有课本上的Cmk＋Cm＋1k＝Cm＋1k＋1，还有可由(1)归纳出的(k＋1)Cmk＝(m＋1)Cm＋1k＋1(k＝m，m＋1，…，n)；单纯从命题角度看，可视为关于n的等式，可结合数学归纳法求证；从求和角度看，左边式子可看作展开式(m＋1)(1＋x)m＋(m＋2)(1＋x)m＋1＋…＋n(1＋x)n－1＋(n＋1)(1＋x)n中含xm项的系数，再利用错位相减求和得含xm项的系数，从而达到化简求证的目的.(1)解：7C36－4C47＝7×6×5×43×2×1－4×7×6×5×44×3×2×1＝