中考数学三角函数汇编

24题汇编1.如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，23BP（单位：km）。有一艘小船停在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向。（1）求A、B两观测站之间的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向以3千米／时的速度进行沿途考察，航行一段时间后到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向，求小船沿途考察的时间。（结果有根号的保留根号）2.如图，在哈市轨道交通的修建中，规划在A、B两地修建地铁2号线，点B在点A的正东方向，由于A、B之间建筑物较多，无法直接测量，现测得点C在点A的北偏东45°方向上，在点B的北偏西60°方向上，BC=400m，请你求出这段地铁AB的长度。（结果精确到1m，参考数据：732.13,414.12）3.如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶部A点测得建筑物CD的顶部C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°。（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）。4.如图，我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，BC∥AD，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=60°，为防夏季因暴雨引发山体滑坡，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A不动，从坡顶B沿BC削进到E处，问BE至少是多少米？（结果保留根号）。5.如图，一艘轮船位于灯塔B的正西方向A处，且A处与灯塔B相距60海里，轮船沿东北方向匀速航行，速度为20海里／时。（1）多长时间后轮船行驶到灯塔B的西北方向；（2）轮船不改变航向行驶到达位于灯塔B的北偏东15°方向上的C处，求灯塔B到C处的距离。（结果保留根号）6.如右图甲楼AB的高为40米，小华从甲楼顶A测乙楼顶C仰角为a=30°，观测乙楼的底部D俯角为=45°。（1）求甲、乙两楼之间的距离；（2）求乙楼的高度（结果保留根号）7.如图，海中有一个小岛P，它的周围25海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行30海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东30°方向上。（1）求渔船在B点时与小岛P的距离？（2）如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由。8.如图，已知射线MN表示一艘轮船的航行路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，A处到M处为80海里。（1）求点A到航线MN的距离；（2）在航线MN上有点B，且∠MAB=15°，若轮船的速度为40海里／时，求轮船从M处到B处所用的时间（结果保留根号）。9.兴趣小组在一次数学实践活动中，为了测量如图所示的小山顶的塔高，进行了如下的操作，首先在A处测得塔尖D的仰角为30°，然后沿AC方向前进72米到达山脚B处，此时测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为45°，求塔高。（结果保留根号）10.如图，一艘轮船位于灯塔C的北偏东30°方向上的A处，且A处距离灯塔C80海里，轮船沿正南方向匀速航行一段时间后，到达位于灯塔C的东南方向上的B处。（1）求灯塔C到航线AB的距离；（2）若轮船的速度为20海里／时，求轮船从A处到B处所用的时间（结果保留根号）。11．如图，小红用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG=30°，在E处测得∠AFG=60°，CE=8米，若仪器CD的高度为3米，求这棵大树AB的高度。（结果保留根号）12．如图，某核潜艇在海面下500米的点A处测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出，在同一深度直线航行3000米后再次在点B处测得俯角为60°正前方的海底有黑匣子信号发出，求黑匣子点C处距海面的深度。（保留根号）13．如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部（B处）6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为5.1米。试帮助小华求出旗杆AB的高度。（结果保留根号）14．一艘渔船以20海里/时的速度向正东航行，在A处观测到北偏东60°方向有一灯塔M，两小时航行至B处，在B处测到灯塔M在北偏东15°方向，若该船此时改变航向以原速直接驶向灯塔M，求需要多长时间到达。（结果保留根号）15．如图，中医药大学想把原来的校园内出现裂痕的李时珍的雕塑重新建造，为了测得其高度，雕塑师小李在教学楼二楼找到一点C，利用三角板测的雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°，又在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°，若CD为10米，求雕塑AB的高度。（结果保留根号）16．如图为某16层建筑的塔吊示意图，∠CAB=15°，∠CBG=30°，吊臂AB与地面EH平行，测得A点到楼顶D的距离为5m，每层楼高m5.3，AE、BF、CH都垂直于地面。（1）求16层楼房DE的高度；（2）若EF=20m，求塔吊的高CH的长。17．如图，某数学小组组织一次登山活动，他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点，再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，斜坡AB的长为1040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30°。已知A点海拔121米，C点海拔721米。（1）求B点的海拔；（2）求斜坡AB的坡度。18．如图，在笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，)13(ABkm，小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向。（1）求点P到海岸线l的距离；（2）小船从点P处沿射线AP方向航行一段时间后，到达点C处。此时，从B测得小船在北偏西15°的方向，求点C与点B之间的距离。19．如图，在东西海岸线l上有一长1km的码头MN，在码头西端M的正西km5.19处有一观察站A，某时刻测得一艘匀速航行的轮船位于A北偏西30°，与A相距40km的B处；经1小时20分钟，又测得该轮船位于A北偏东60°，与A相距km38的C处。（1）求该轮船航行的速度；（2）若该轮船不改变航向继续航行，则轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由。20．如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30°，兰兰的眼睛与地面的距离是5.1米，BG=1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度3:4i，坡长AB=10米，求此时小船C到岸边的距离CA的长。（结果保留根号）答案：1.（1）过P作PH⊥AB于H，在△BHP中，454590PBA，∴PH=BH，∴2223cosBHBPBHPBH，∴BH=3，PH=3，在△AHP中，306090PAH，∴333tanAHAHPHPAH，∴33AH，∴333AHBHAB（2）在△CBP中，45)3045(60180180CPBCBPC，过P作PM⊥BC于M，在△BMP中，2323sinPMPBPMMBP，∴263PM，在△CMP中，22263sinPCPCPMC，∴33PC，∴3333∴小船沿途考察的时间为3小时。2.过点C作CD⊥AB，垂足为D点，由题意知：∠CAB=45°，∠CBA=30°，BC=400m，CD⊥AB，在Rt△CDB中，∠CBD=30°，∴mBCCD20021，CBDBCBDcos∴2340030cos400cosCBDCBDB，∴3200DB（m）在Rt△ACD中，∠CAD=45°，CD⊥AB，∴AD=CD=200（m）5463200200DBADAB（m）答：这段地铁AB的长度约有546m。3.（1）根据题意得：BD∥AE，∴∠ADB=∠EAD=45°，∵∠ABD=90°，∴∠BAD=∠ADB=45°，∴BD=AB=60∴两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米。（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，∴AF=BD=DF=60，在Rt△AFC中，∠FAC=30°，∴320336030tan60tanFACAFCF，又∵DF=60，∴32060CD∴建筑物CD的高度为（32060）米。4.过B作BG⊥AD于G，EF⊥AD于F，∴∠BGA=∠EFA=90°，∴EF∥BG，在Rt△ABG中，∵∠BAG=60°，∴∠ABG=30°，∴20402121ABAG，4060sinBGABBG，∴3202340BG，∵BC∥AD，EF∥BG，∠BGD=90°，∴四边形EFGB是矩形，∴BG=EF，BE=FG，在Rt△AEF中，∵∠EAF=45°，∴320AFEF，∴20320AGAFFGBE答：BE的长是（20320）米。5.（1）在△ABC中，过点B作AC的垂线，垂足为D，依题意可得∠DAB=45°，∠DBA=45°，AB=60，230226045sinABBDAD轮船行驶到灯塔B的西北方向点D所用的时间为：22320230（小时）（2）在△BDC中∠DBC=45°+15°=60°，∠BDC=90°，2160cos230cosBCBCBDDBC∴260BC（海里）答：灯塔B到C处的距离是260海里。6.（1）证平行得出45度，得出正确答案40米；（2）334040米7.（1）分别在点A，点B的正北方取点D，E，画射线BE，根据题意得∠DAP=60°，∠EBP=30°，∴∠PAB=30°，∠ABP=120°，∴30180ABPPABAPB∴∠APB=∠PAB，∴PB=AB=30（海里）（2）没有触礁危险过点P作AB的垂线，点F为垂足∵∠PBF=90°－∠EBP=60°，∴在Rt△PBF内，315233060sin30sinPBFPBPF，6752PF，625252∴PF25∴没有触礁煞危险。8.（1）如图，过点A作AK⊥MN于K，在点M的正南方向取点P，∵M到N的走向为南偏东30°，A在M的南偏东60°方向上，∴∠PMB=30°，∠PMA=60°，∴∠AMK=30°，∵AMAKAMKsin，即8021AK，∴AK=40答：A到航线MN的距离为40海里。（2）∵MKAKAMKtan，即MK4033∴340MK，∵∠ABK=∠AMK+∠MAB=30°+15°=45°，∴∠BAK=90°45ABK∴∠ABK=∠BAK，∴BK=AK=40，∴40340BKMKBM)13(40)40340(小时答：轮船从M处到B处所用的时间为)13(小时。9.∵∠ADB=BADBADCBD303060，∴BD=AB=72（米）在Rt△BCD中，∠DBC=60°，∴36217260cosBDBC336237260sinBDCD，在Rt△BCE中，∠EBC=45°，∴CE=BC=36，塔高36336ECCDDE答：塔高DE为（36336）米。10.（1）在点C的正北方取一点E，由题意可知AB∥CE，∴∠A=∠ACE=30°，作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，40802121ACCD，∴灯塔C到航线AB的距离为40海里。（2）在Rt△ACD中，340238030cosACAD，在Rt△BCD中，由题意知∠B=∠DCB=45°，∴BD=CD=40，∴40340DBADAB∴所需时间为2322040340∴轮船从A处到B处所用的时间为（232）小时。11.解：设AG=xm，在Rt△ADG中，∠ADG=30°，∴DG=3AG=3xm在Rt△AED中，∠AFG=60°，AG=x，FG=33x，∵DG-FG=DF,DF=CE=8,∴3x-33x=8解得x=43∴AB=AG+BG=43+3=53答：大树AB的高为53米．12..解:过点C作CEDE交AB的延长线于F，交DE于E.∵60FBC30BAC,∴BAC