2019年全国高中数学联赛A卷真题word版

12019年全国高中数学联赛A卷一试一、填空题1.已知正实数a满足aaaa89，则aa3log的值为__________.2.若实数集合x,3,2,1的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为____.3.平面直角坐标系中，e是单位向量，向量a满足2ea，且etaa52对任意实数t成立，则a的取值范围是__________.4.设A，B为椭圆的长轴顶点，E，F为椭圆的两个焦点，4AB，32AF，P为上一点，满足2PFPE，则PEF的的面积为.5.在10,,3,2,1中随机选出一个数a，在10,,3,2,1中随机选出一个数b，则ba2被3整除的概率为__________.6.对任意闭区间I，用IM表示函数xysin在I上的最大值，若正数a满足aaaMM2,,0，则a的值为__________.7.如图，正方体EFGHABCD的一个截面经过点A、C及棱EF上一点K，且将正方体分成体积比为1:3的两部分，则FKEK的值为__________.8.将6个数2，0，1，9，20，19按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数为__________.二、解答题9.在ABC中，aBC，bCA，cAB，若b是a与c的等比中项，且Asin是ABsin与Csin的等差中项，求Bcos的值.10.在平面直角坐标系xOy中，圆与抛物线：xy42恰有一个公共点，且圆与x轴相切于的焦点F，求圆的半径.11.称一个复数数列nz为“有趣的”，若11z且对任意正整数n，均有0242121nnnnzzzz，求最大的常数C，使得对一切有趣的数列nz及任意正整数m，均有Czzzzm321.22019年全国高中数学联赛A卷二试一、如图，在锐角ABC中，M是BC边的中点.点P在ABC内，使得AP平分BAC.直线MP与ABP，ACP的外接圆分别相交于不同于点P的两点ED,.求证：若MPDE，则BPBC2.二、设整数2019321,,,,aaaa满足9912019321aaaa，记20192017534231220192221aaaaaaaaaaaf，求f的最小值0f，并确定使0ff成立的数组的个数2019321,,,,aaaa.三、设m为整数，2m，整数数列,,21aa满足：21,aa不全为零，且对任意正整数n，均有nnnmaaa12.求证：若存在整数2,srsr使得1aaasr，则msr.四、设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面.某些点之间连有线段，记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n，满足条件：若E至少有n个元素，则E一定含有908个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交集为空集.