2020江苏省中考数学选择填空压轴题专题：《三角形综合问题》(含答案)

专题:三角形综合问题例1．如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝43，点E是折线ADC上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个同类题型1.1如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM＝DN；②S△CDN＝13S四边形ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF．其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个同类题型1.2如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，则（）A．当∠B为定值时，∠CDE为定值B．当∠1为定值时，∠CDE为定值C．当∠2为定值时，∠CDE为定值D．当∠3为定值时，∠CDE为定值同类题型1.3如图，在△ABC中，AB＝AC＝23，∠BAC＝120°，点D、E都在边BC上，∠DAE＝60°．若BD＝2CE，则DE的长为______________．例2．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC，E为AB边上一点，∠BCE＝15°，且AE＝AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论：①ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③EH＝2EB；④S△AEHS△CEH＝EHCD．其中正确的结论是________．同类题型2.1如图所示，已知：点A（0，0），B（3，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于____________．同类题型2.2如图，点P在等边△ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为_________．例3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°＋12∠A；②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；③EF是△ABC的中位线；④设OD＝m，AE＋AF＝n，则S△AEF＝12mn．其中正确的结论是（）A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④同类题型3.1如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD的长为（）A．14B．15C．32D．23同类题型3.2如图，在Rt△ABC中，BC＝2，∠BAC＝30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论：①若C、O两点关于AB对称，则OA＝23；②C、O两点距离的最大值为4；③若AB平分CO，则AB⊥CO；④斜边AB的中点D运动路径的长为π2；其中正确的是______________（把你认为正确结论的序号都填上）．同类题型3.3如图，直角△ABC中，∠B＝30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则MOMF的值为（）A．12B．54C．23D．33例4．如图，在△ABC中，4AB＝5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG＝FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则AGFD的值为________．同类题型4.1如图，已知CO1是△ABC的中线，过点O1作O1E1∥AC交BC于点E1，连接AE1交CO1于点O2；过点O2作O2E2∥AC交BC于点E2，连接AE2交CO1于点O3；过点O3作O3E3∥AC交BC于点E3，…，如此继续，可以依次得到点O4，O5，…，On和点E4，E5，…，En，则O2016E2016＝_________AC．同类题型4.2如图，过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延长线于点F．在AF上取点M，使得AM＝13AF，连接CM并延长交直线DE于点H．若AC＝2，△AMH的面积是112，则1tan∠ACH的值是___________．例5．如图，△ABC的面积为S．点P1，P2，P3，…，Pn－1是边BC的n等分点（n≥3，且n为整数），点M，N分别在边AB，AC上，且AMAB＝ANAC＝1n，连接MP1，MP2，MP3，…，MPn－1，连接NB，NP1，NP2，…，NPn－1，线段MP1与NB相交于点D1，线段MP2与NP1相交于点D2，线段MP3与NP2相交于点D3，…，线段MPn－1与NPn－2相交于点Dn－1，则△ND1P1，△ND2P2，△ND3P3，…，△NDn－1Pn－1的面积和是____________．（用含有S与n的式子表示）同类题型5.1如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是（）A．1.5B．2C．2.25D．2.5同类题型5.2如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）A．2B．54C．53D．75同类题型5.3如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝2＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为____________．同类题型5.4如图，在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB＝9，DF＝2FC，则BC＝_________________．（结果保留根号）参考答案例1．如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝43，点E是折线ADC上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个解：①BP为等腰三角形一腰长时，符合点E的位置有2个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点即是点P；②BP为底边时，C为顶点时，符合点E的位置有2个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P；③以PC为底边，B为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点．选C．同类题型1.1如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM＝DN；②S△CDN＝13S四边形ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF．其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵D是BC中点，N是AC中点，∴DN是△ABC的中位线，∴DN∥AB，且DN＝12AB；∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB交AB于点M，∴M是AB的中点，∴EM＝12AB，又∵DN＝12AB，∴EM＝DN，∴结论①正确；∵DN∥AB，∴△CDN∽ABC，∵DN＝12AB，∴S△CDN＝14S△ABC，∴S△CDN＝13S_(四边形ABDN)，∴结论②正确；如图1，连接MD、FN，∵D是BC中点，M是AB中点，∴DM是△ABC的中位线，∴DM∥AC，且DM＝12AC；∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，∴FN＝12AC，又∵DM＝12AC，∴DM＝FN，∵DM∥AC，DN∥AB，∴四边形AMDN是平行四边形，∴∠AMD＝∠AND，又∵∠EMA＝∠FNA＝90°，∴∠EMD＝∠DNF，在△EMD和△DNF中，EM＝DN∠EMD＝∠DNFMD＝NF，∴△EMD≌△DNF，∴DE＝DF，∴结论③正确；如图2，连接MD，EF，NF，∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB，∴M是AB的中点，EM⊥AB，∴EM＝MA，∠EMA＝90°，∠AEM＝∠EAM＝45°，∴EMEA＝sin45°＝22，∵D是BC中点，M是AB中点，∴DM是△ABC的中位线，∴DM∥AC，且DM＝12AC；∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，∴FN＝12AC，∠FNA＝90°，∠FAN＝∠AFN＝45°，又∵DM＝12AC，∴DM＝FN＝22FA，∵∠EMD＝∠EMA＋∠AMD＝90°＋∠AMD，∠EAF＝360°－∠EAM－∠FAN－∠BAC＝360°－45°－45°－（180°－∠AMD）＝90°＋∠AMD∴∠EMD＝∠EAF，在△EMD和△∠EAF中，EMEA＝DMFA＝22∠EMD＝∠EAF∴△EMD∽△∠EAF，∴∠MED＝∠AEF，∵∠MED＋∠AED＝45°，∴∠AED＋∠AEF＝45°，即∠DEF＝45°，又∵DE＝DF，∴∠DFE＝45°，∴∠EDF＝180°－45°－45°＝90°，∴DE⊥DF，∴结论④正确．∴正确的结论有4个：①②③④．选D．同类题型1.2如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，则（）A．当∠B为定值时，∠CDE为定值B．当∠1为定值时，∠CDE为定值C．当∠2为定值时，∠CDE为定值D．当∠3为定值时，∠CDE为定值解：在△CDE中，由三角形的外角性质得，∠AED＝∠CDE＋∠C，在△ABD中，由三角形的外角性质得，∠B＋∠1＝∠ADC＝∠ADE＋∠CDE，∵∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，∴∠B＋∠1＝∠CDE＋∠C＋∠CDE＝2∠CDE＋∠B，∴∠1＝2∠CDE，∴当∠1为定值时，∠CDE为定值．选B．同类题型1.3如图，在△ABC中，AB＝AC＝23，∠BAC＝120°，点D、E都在边BC上，∠DAE＝60°．若BD＝2CE，则DE的长为______________．解：将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，如图所示．∵AB＝AC＝23，∠BAC＝120°，∴∠ACB＝∠B＝∠ACF＝30°，∴∠ECG＝60°．∵CF＝BD＝2CE，∴CG＝CE，∴△CEG为等边三角形，∴EG＝CG＝FG，∴∠EFG＝∠FEG＝12∠CGE＝30°，∴△CEF为直角三角形．∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠BAD＋∠CAE＝60°，∴∠FAE＝∠FAC＋∠CAE＝∠BAD＋∠CAE＝60°．在△ADE和△AFE中，AD＝AF∠DAE＝∠FAE＝60°AE＝AE，∴△ADE≌△AFE（SAS），∴DE＝FE．设EC＝x，则BD＝CD＝2x，DE＝FE＝6－3x，在Rt△CEF中，∠CEF＝90°，CF＝2x，EC＝x，EF＝CF2－EC2＝3x，∴6－3x＝3x，x＝3－3，∴DE＝3x＝33－3．例2．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC，E为AB边上一点，∠BCE＝15°，且AE＝AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论：①ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③EH＝2EB；④S△AEHS△CEH＝EHCD．其中正确的结论是________．解：①∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，又∵∠BAD＝90°，∴∠BAC＝∠DAC，在△ACD和△ACE中，AD＝AE∠EAC＝∠DACAC＝AC，∴△ACD≌△ACE（SAS）；故①正确；②同理∠AED＝45°，∠BEC＝90°－∠BCE＝90°－15°＝75°，∴∠DEC＝60°，∵△ACD≌△ACE，∴CD＝CE，∴△CDE为等边三角形．故②正确．③∵△CHE为直角三角形，且∠HEC＝60°∴EC＝2EH∵∠ECB＝15