3.高阶导数-隐函数求导法则

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组第2章一元函数微分学高等数学A2.1导数及微分2.1.9高阶导数2.1.10隐函数的求导法则2.1导数及微分2.1.9高阶导数高阶导数定义与记号简单函数高阶导数的习例1-5高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则习例6-82.1.10隐函数的求导法则隐函数的求导法则隐函数的求导数习例9-14内容小结课堂思考与练习导数及微分间接法直接法一、高阶导数的定义与记号问题:变速直线运动的加速度.),(tfs设)()(tftv则瞬时速度为的变化率对时间是速度加速度tva.])([)()(tftvta定义:.)(,)()(的二阶导数叫做这个导数处可导在的导数若xfyxxfyxfy.)()(:2222dxxfddxydxfy或或或记为即.)()(lim)(0xxfxxfxfx记号与求导过程:.)(2222dxyddxdxdyddxdydxddxyd类似地，y=f(x)的二阶导数的导数叫做三阶导数.记为称二阶、三阶…n阶导数为高阶导数..,),(33dxydyxfy=f(x)的三阶导数的导数叫做四阶导数.记为.,),(44)4()4(dxydyxfy=f(x)的n-1阶导数的导数叫做n阶导数..,),()()(nnnndxydyxf注意：.)(;)(,)1(称为一阶导数称为零阶导数相应地xfxf(2)高阶导数是在低一阶导数的基础上定义的，故求高阶导数得先求出各低阶导数.(3)物体运动的加速度，是距离函数关于时间的二阶导数,即).()(22tsdtyddtdvta一个函数的导函数不一定再可导,也不一定连续.如果函数f(x)在区间I上有直到n阶的导数f(n)(x),且f(n)(x)仍是连续的(此时低于n阶的导数均连续),则称f(x)在区间I上n阶连续可导,记为.)()I()(nnCxfCxf或如果f(x)在区间I上的任意阶的高阶导数均存在且连续,则称函数f(x)是无穷次连续可导的,记为.)()I()(CxfCxf或说明：二、简单函数高阶导数的习例)1.(,.nfxx设求各阶导函数例(),2..xnyay例设求().()cos,)3(.nfxxfx设求例1.直接法由低阶向高阶逐步求高阶导数..),1ln()(nyxy求设例4)1.(,.nfxx设求各阶导函数例解:,)(1nnxxf,)1()(2nxnnxf,)2)(1()(3nxnnnxf,)1()2)(1()()(knkxknnnnxf,2)2)(1()()1(xnnnxfn,!12)2)(1()()(nnnnxfn,0)()1(xfn0)(,1)(xfkkn对于一切,22110nnnnaxaxaxay若!0)(nayn则练习:1.y=(ax+b)n的高阶导数kknknkabaxknnnbaxy))(1()1())(()()(当k≥n+1时，y(k)=0解：当1≤k≤n时(),2..xnyay例设求解:,lnaayx,,ln2aayx.ln)(aaynxn注意：求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)():()xnxee特()()cos,().3.nfxxfx求例设解：2cossin)(xxxf2sin)(xxf22cos22cosxx22sin)(xxf23cosx.2cos)()(nxxfn.2coscos)(nxxn即()sinsin.2nxxn同理.),1ln()(nyxy求设解xy112)1(1xy3)1(!2xy4)4()1(!3xy()1(1)(1)nnnnxx)1!0,1(n思考:例4类似地，有Nnxnxnnn.)1(!)1(111)(.)(!)1(11)(nnnnbaxnabaxSoeasy()11!1(1).nnnnNxx2.间接法利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.nnxnx)1()1()()4()(()1(1)!(5)(ln(1))(1)(1)nnnnxx)2sin()(sin)2()(nkxkkxnn)2cos()(cos)3()(nkxkkxnn)0(ln)()1()(aaaanxnxxnxee)()(()11!(5).(1).1(1)nnnnnNxx例5.,11)5(2yxy求设例6.,cossin)(66nyxxy求设例7求.6512100100xxdxd2.间接法求高阶导数例5.,11)5(2yxy求设解)1111(21112xxxy])1(!5)1(!5[2166)5(xxy])1(1)1(1[6066xx()11!()(1)1(1)nnnnxx利用公式例6.,cossin)(66nyxxy求设解3232)(cos)(sinxxy)coscossin)(sincos(sin422422xxxxxxxxxx22222cossin3)cos(sinx2sin431224cos1431xx4cos8385).24cos(483)(nxynn例7求.6512100100xxdxd解由于)3)(2(16512xxxx,3121xx故31216511001001001002100100xdxdxdxdxxdxd101101)3(1)2(1!100xx101100101100)3(!100)1()2(!100)1(xx三、高阶导数的运算法则定理1：如果u=u(x),v=v(x)都在点x处具有n阶导数,则)()()()1(nnnvuvu)()()()2(2)1(1)()()2(nkknknnnnnnnuvvuCvuCvuCvuuv)()()3(nnCuCu公式(2)称为Leibniz(莱布尼兹)公式.vu3)(vuvuvu)(vu)(vuvuvuvu2vu)(vuvuvu3vu注意:求高阶导数的方法可归纳为三种方法1(直接法):即利用高阶导数的定义，再由不完全归纳法得出结论.方法3:即利用高阶导数的运算法则来得结论.方法2(间接法):即利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.四、高阶导数的运算法则习例2(20)c8os,.yxxy求例.),,(sin)(naxybabxey求为常数设例9.,)20(22yexyx求设例10221,11.dxdxdyydy求例由解：则设,,cos2xvxu,20)1,2,(2cos)(kkxuk)20,,4,3(0,2,2)(kvvxvkvuCvuCvuy)18(220)19(120)20()20(2220cosxxxx2219cos202218cos21920x.cos380sin40cos2xxxxx2(20)c8os,.yxxy求例例9.,)20(22yexyx求设解则由莱布尼兹公式知设,,22xveux0)()(!2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20(xexexeyxxx22!21920222022182192220xxxexexe)9520(22220xxex例10.),,(sin)(naxybabxey求为常数设解bxbebxaeyaxaxcossin)cossin(bxbbxaeax)arctan()sin(22abbxbaeax)]cos()sin([22bxbebxaebayaxax)2sin(2222bxbaebaax)sin()(222)(nbxebayaxnn)arctan(ab221,11.dxdxdyydy求例由22222(')(')1()()'(')(')(')(')ydyydxddxddydydydydyyyydydxdxdyy解：注意，y',y''是y对x的导数，而22ddyx导数.由复合函数及反函数的求导法则，得是求x对y的32)'('')'()'(yydxdyydxyd))'(''()(32233yydydydxddyddyxd52)()(3yyyy623)(1)(31)'(yyyyyyyy633)()'()'(ydydxdxydydydxdxydy633)()'('')'(ydyydydyydy五、隐函数的求导法则定义:.)(称为隐函数由方程所确定的函数xyy.)(形式称为显函数xfy0),(yxF)(xfy隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.值得注意的是：在求导过程中，若x为自变量，则y是x的函数，关于y的其他形式都是复合函数.如果由方程F(x,y)=0确定隐函数y=f(x)可导，则将y=f(x)代入方程中，得到F(x,f(x))0对上式两边关于x求导：0),(ddyxFx然后，从这个式子中解出y，就得到隐函数的导数。隐函数求导法则:333313.3,(,)22,.CxyxyCC例设曲线的方程为求过上点的切线方程并证明曲线在该点的法线通过原点六、隐函数的求导数习例2212.0,.ydyexyeyxdx例设方程确定了为的可微函数求2212.0,.ydyexyeyxdx例设方程确定了为的可微函数求解:方程两边对x求导得,,0)(exyedxdy.0yxyyey.yexyy求二阶导数有两个方法:方法1.yexyy2)()1)(()(yyyexyeyexy.)(2232yyyexeyyexy方法2.,0yxyyey,0)(yxyyey则.0)(2yxyyyeyeyyyyexyyey2)(232)(22yyyexeyyexy解:,求导方程两边对xyxyyyx333322)23,23(22)23,23(xyxyy.1所求切线方程为)23(23xy.03yx即2323xy法线方程为,xy即显然通过原点.333313.3,(,)22,.CxyxyCC例设曲线的方程为求过上点的切线方程并证明曲线在该点的法线通过原点内容小结(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法——利用已知的高阶导数公式(4)利用莱布尼兹公式1.高阶导数的求法2.隐函数求导法则直接对方程两边求导思考题：习题2.1第1题（10）到（12）思考题参考答案课堂练习：习题2.1第19题到第22题练习参考答