高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题（共21分每小题3分）1．曲线012xyz绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122yxz．2．直线35422:1zyxL与直线tztytxL72313:2的夹角为2．3．设函数22232),,(zyxzyxf，则)1,1,1(gradf}6,4,2{．4．设级数1nnu收敛，则nnulim0．5．设周期函数在一个周期内的表达式为,0,10,0)(xxxxf则它的傅里叶级数在x处收敛于21．6．全微分方程0ddyxxy的通解为Cxy．7．写出微分方程xeyyy2的特解的形式xaxey*．二、解答题（共18分每小题6分）1．求过点)1,2,1(且垂直于直线02032zyxzyx的平面方程．解：设所求平面的法向量为n，则3,2,1111121kjin(4分)所求平面方程为032zyx(6分)2．将积分vzyxfd),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中是曲面)(222yxz及22yxz所围成的区域．解：20,10,2:2rrzr(3分)vzyxfd),,(221020d),sin,cos(ddrrzzrrfrr(6分)3．计算二重积分DyxyxeIdd)(22，其中闭区域.4:22yxD解2020dd2rreIr20220)(dd212rer202d221re)1(4e三、解答题（共35分每题7分）1．设vuez，而22yxu，xyv，求zd．解：)2(232yyxxeyuexexvvzxuuzxzxyvv(3分))2(223xyxyexueyeyvvzyuuzyzxyvv(6分)yxyxyexyyxxezxyxyd)2(d)2(d2332(7分)2．函数),(yxzz由方程0xyzez所确定，求yzxz,．解：令xyzezyxFz),,(，(2分)则,yzFx,xzFy,xyeFzz(5分)xyeyzFFxzzzx，xyexzFFyzzzy．(7分)3．计算曲线积分Lyxxydd，其中L是在圆周22xxy上由)0,2(A到点)0,0(O的有向弧段．解：添加有向辅助线段OA，有向辅助线段OA与有向弧段OA围成的闭区域记为D，根据格林公式OADLyxxyyxyxxydddd2dd(5分)022(7分)4．设曲线积分Lxyxfxyxfed)(d)]([与路径无关，其中)(xf是连续可微函数且满足1)0(f，求)(xf．解：由xQyP得)()(xfxfex，即xexfxf)()((3分)所以)d()(dd)1(Cxeeexfxxx)(Cxex，(6分)代入初始条件，解得1C，所以)1()(xexfx．(7分)5．判断级数12)!2()!(nnn的敛散性．解：因为)!2()!()!22(])!1[(limlim221nnnnuunnnn(3分))12)(22()1(lim2nnnn141(6分)故该级数收敛．(7分)四、（7分）计算曲面积分yxzxzyzyxdddddd，其中是上半球面221zyx的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221yxz，取下侧，则在由1和所围成的空间闭区域上应用高斯公式得yxzxzyzyxdddddd1ddddddyxzxzyzyx1ddddddyxzxzyzyx(4分)0d3v(6分)342132．(7分)五、（6分）在半径为R的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形．解：设三角形各边所对圆心角分别为zyx,,，则2zyx，且面积为)sinsin(sin212zyxRA，令)2(sinsinsinzyxzyxF(3分)由20cos0cos0coszyxzFyFxFzyx(4分)得32zyx．此时，其边长为RR3232．由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三角形时其面积最大．(6分)六、（8分）求级数1nnnx的收敛域，并求其和函数．解：1)1(limlim1nnaaRnnnn，故收敛半径为1R．(2分)当1x时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛；当1x时，级数为调和级数，发散．故原级数的收敛域为)1,1[．(5分)设和为)(xS，即1)(nnnxxS，求导得11)(nnxxSx11，(6分)再积分得xxxSxS0d)()(xxxd110)1ln(x，)11(x(8分)七、（5分）设函数)(xf在正实轴上连续，且等式yxxyttfxttfyttf111d)(d)(d)(对任何0,0yx成立．如果3)1(f，求)(xf．解：等式两边对y求偏导得)(d)()(1yfxttfyxfxx(2分)上式对任何0,0yx仍成立．令1y，且因3)1(f，故有xxttfxxf13d)()(．(3分)由于上式右边可导，所以左边也可导．两边求导，得3)()()(xfxfxfx即)0(3)(xxxf．故通解为Cxxfln3)(．当1x时，3)1(f，故3C．因此所求的函数为)1(ln3)(xxf．(5分)八．（5分）已知xxexey21，xxexey2，xxxeexey23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．解1：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为)(2xfyyy将xxey代入上式，得xxxeexf2)(，因此所求的微分方程为xxxeeyyy22解2：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe是非齐次方程的一个特解，故xxxeCeCxey221是所求微分方程的通解，从而有xxxxeCeCxeey2212，xxxxeCeCxeey22142消去21,CC，得所求的微分方程为xxxeeyyy2206高数B一、填空题（共30分每小题3分）1．xoy坐标面上的双曲线369422yx绕x轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为36)(94222zyx．2．设函数22),,(zyzxzyxf，则)1,0,1(gradf)2,1,2(．3．直线35422:1zyxL与直线tztytxL72313:2的夹角为2．4.设是曲面222yxz及22yxz所围成的区域积分，则vzyxfd),,(化为柱面坐标系下的三次积分形式是221020d),sin,cos(ddrrzzrrfrr．5.设L是圆周22xxy，取正向，则曲线积分Lyxxydd2．6.幂级数11)1(nnnnx的收敛半径1R．7．设级数1nnu收敛，则nnulim0．8．设周期函数在一个周期内的表达式为,0,0,0)(xxxxf则它的傅里叶级数在x处收敛于2．9．全微分方程0ddyyxx的通解为Cxy．10．写出微分方程xeyyy2的特解的形式xaxey*．二、解答题（共42分每小题６分）1．求过点)1,2,1(且垂直于直线03202zyxzyx的平面方程．解：设所求平面的法向量为n，则3,2,1111121kjin(4分)所求平面方程为032zyx(2分)2．函数),(yxzz由方程zyxzyx32)32sin(所确定，求xz．解：令zyxzyxzyxF32)32sin(),,(，(2分)则,1)32cos(zyxFx3)32cos(3zyxFz．(2分))32cos(33)32cos(1zyxzyxFFxzzx．(2分)3．计算Dxyd，其中D是由直线2,1xy及xy所围成的闭区域．解法一：原式211d]d[xxyxy(2分)xyxxd]2[2112xxxd)22(213811]48[2124xx.(4分)解法二：原式212d]d[yyxxy811]8[2142yy.(同上类似分)4．计算Dyxyxdd122，其中D是由122yx即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域．解：选极坐标系原式20102d1rrrd(3分))1(1)21(22102rdr6(3分)5．计算zxyyzxzydd2d)(222，其中是曲线,tx,2ty3tz上由01t到12t的一段弧．解：原式1022564d]322)[(ttttttt(3分)1046d)23(ttt1057]5273[tt351(3分)6．判断级数1212nnn的敛散性．解：因为nnnnnnnnuu2122)12(limlim11(3分)121，(2分)故该级数收敛．(1分)7．求微分方程043yyy满足初始条件,00xy50xy的特解．解：特征方程0432rr，特征根1,421rr通解为xxeCeCy241，(3分)xxeCeCy2414，代入初始条件得1,121CC，所以特解xxeey4．(3分)三、（8分）计算曲面积分yxzxzyzyxdddddd，其中是上半球面221zyx的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221yxz，取下侧，则在由1和所围成的空间闭区域上应用高斯公式得yxzxzyzyxdddddd1ddddddyxzxzyzyx1ddddddyxzxzyzyx(4分)0d3v(2分)342132．(2分)四、（8分）设曲线积分Lyxxxfxxyfd])(2[d)(2在右半平面)0(x内与路径无关，其中)(xf可导，且满足1)1(f，求)(xf．解：由xQyP，得xxfxxfxf2)(2)(2)(，即1)(21)(xfxxf，(3分)所以)d()(d21d21Cxeexfxxxx)(2121Cdxxx)32(2321Cxx，(3分)代入初始条件，解得31C，所以xxxf3132)(．(2分)五、（6分）求函数xyyxyxf3),(33的极值．解：033),(033),(22xyyxfyxyxfyx得驻点)1,1(),0,0((3分),6),(xyxfxx,3),(yxfxyyyxfyy6),(在点)0,0(处，,092ACB故)0,0(f非极值；在点)1,1(处，,0272ACB故1)1,1(f是极小值．(3分)六、（6分）试证：曲面)(xyxfz上任一点处的切平面都过原点．证：因),()(xyfxyxyfxz)(1)(xyfxxyfxyz(3分)则取任意点),,(0000zyxM，有)(0000xyfxz，得