CG第7章电子教案

2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-71第7章三维变换及三维观察提出问题•如何对三维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换•如何进行投影变换•如何方便地实现在显示设备上对三维图形进行观察2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-727.1三维变换的基本概念7.1.1三维齐次坐标变换矩阵snmlrihgqfedpcbaTD32019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-737.1.2几何变换图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、比例、旋转等变换后产生新的图形。点的矩阵变换线框图的变换用参数方程描述的图形的变换2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-747.1.3平面几何投影投影变换就是把三维立体（或物体）投射到投影面上得到二维平面图形。平面几何投影主要指平行投影、透视投影以及通过这些投影变换而得到的三维立体的常用平面图形：三视图、轴测图。观察投影是指在观察空间下进行的图形投影变换。2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-75投影中心、投影面、投影线：BAA'B'投影线投影中心线段BAA'B'投影线投影中心在无穷远处线段(a)透视投影(b)平行投影图7-1线段AB的平面几何投影2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-76平面几何投影可分为两大类：透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的SSS(a)透视投影(b)正投影(c)斜投影图7-2平面几何投影分为透视投影和平行投影2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-77平面几何投影平行投影透视投影正投影斜投影三视图正轴测斜等测斜二测正等测正二测正三测主视图侧视图俯视图一点透视二点透视三点透视图7-3平面几何投影的分类7.1.4观察投影观察空间的定义用户坐标系到观察坐标系的转换规范化投影变换三维裁剪正投影二维变换输出裁剪后的三维形体用户坐标系中的几何形体观察坐标系中的三维形体规范化观察空间中的三维形体二维坐标系下的图形输出设备上的图形2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-797.2三维几何变换snmlrjihqfedpcbazyxTpzyxpD11''''32019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-7107.2.1三维基本几何变换三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换假设三维形体变换前一点为p(x,y,z)，变换后为p'(x',y',z')。2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-7111.平移变换ZYX(x,y,z)(x',y',z')图7-5平移变换1010000100001TzTyTxTt2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-7122.比例变换(1)局部比例变换1000000000000jeaTs2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-713例子：对如图7-6所示的长方形体进行比例变换，其中a=1/2，e=1/3，j=1/2，求变换后的长方形体各点坐标。yzxyzxABCDEFGH图7-6比例变换2231112019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-714(2)整体比例变换sTS0000100001000012019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-7153.旋转变换zyX图7-7旋转变换的角度方向2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-716(1)绕z轴旋转1000010000cossin00sincosRZTzyX2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-717(2)绕x轴旋转zyX10000cossin00sincos00001RXT2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-718(3)绕y轴旋转zyX10000cos0sin00100sin0cosRYT2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-7194.对称变换(1)关于坐标平面对称关于xoy平面进行对称变换的矩阵计算形式为：1000010000100001FxyT2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-720关于yoz平面的对称变换为：1000010000100001FyzT2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-721关于zox平面的对称变换为:1000010000100001FzxT2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-722(2)关于坐标轴对称变换关于x轴进行对称变换的矩阵计算形式为：1000010000100001FxT2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-723关于y轴的对称变换为：1000010000100001FyT2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-724关于z轴的对称变换为：1000010000100001FzT2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-7255.错切变换1000010101hgfdcbTSH2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-726(1)沿x方向错切10000100010001gdTSHx2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-727(2)沿y方向错切10000100010001hbTSHy2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-728(3)沿z方向错切10000100010001fcTSHz2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-7296.逆变换所谓逆变换即是与上述变换过程的相反的变换(1)平移的逆变换10100001000011zyxtTTTT2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-730(2)比例的逆变换局部比例变换的逆变换矩阵为：10000100001000011ieaTs2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-731整体比例变换的逆变换矩阵为：sTS100001000010000112019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-732(3)旋转的逆变换1000010000cossin00sincos1000010000)cos()sin(00)sin()cos(1RZT2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-7337.2.2三维复合变换三维复合变换是指图形作一次以上的变换，变换结果是每次变换矩阵相乘。)1()('321nTTTTPTPPn2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-7341.相对任一参考点的三维变换相对于参考点F(xf,yf,zf)作比例、旋转、错切等变换的过程分为以下三步：(1)将参考点F移至坐标原点(2)针对原点进行二维几何变换(3)进行反平移2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-735(x',y',z')zyxzyx(x',y',z')zyx(x',y',z')zy(x',y',z')xFF图7-8相对参考点F的比例变换(a)原图(b)移至坐标原点(c)基本比例变换(d)移回F点原来位置例：相对于F(xf,yf,zf)点进行比例变换2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-7362.绕任意轴的三维旋转变换问题：如何求出为TRAB。XYZABP'Pθ图7-9P点绕AB轴旋转RABTzyxzyx]1[]1'''[2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-737分析：111tARxRyRzRyRxtARABTTTTTTTTx'z'y'B(a,b,c)B'vcEbO'x'z'y'B(a,b,c)vO'vaaaB'图7-10O'A经两次旋转与Z'轴重合(a)(b)Dc2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-738公式推导：(1)将坐标原点平移到A点(2)将O'BB'绕x'轴逆时针旋转α角，则O'B旋转到x'o'z'平面上(3)将O'B绕y'轴顺时针旋转β角，则O'B旋转到z'轴上。(4)经以上三步变换后，AB轴与z'轴重合，此时绕AB轴的旋转转换为绕z轴的旋转。(5)最后，求TtA，TRx，TRy的逆变换，回到AB原来的位置。x'z'y'B(a,b,c)B'vcEbO'x'z'y'B(a,b,c)vO'vaaaB'图7-10O'A经两次旋转与Z'轴重合(a)(b)Dc2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-739类似地，针对任意方向轴的变换可用五个步骤来完成：(1)使任意方向轴的起点与坐标原点重合，此时进行平移变换。(2)使方向轴与某一坐标轴重合，此时需进行旋转变换，且旋转变换可能不止一次。(3)针对该坐标轴完成变换。(4)用逆旋转变换使方向轴回到其原始方向。(5)用逆平移变换使方向轴回到其原始位置。2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-7407.3平行投影平行投影可分成两类：正投影和斜投影。投影方向投影平面投影平面法向投影方向投影平面(a)正投影(b)斜投影7-11平行投影投影平面法向7.3.1正投影正投影又可分为：三视图和正轴测。当投影面与某一坐标轴垂直时，得到的投影为三视图；否则，得到的投影为正轴测图。投影方向投影平面(a)三视图(b)正轴测7-12正投影xzyO投影平面投影方向zxy2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-742三视图：三视图包括主视图、侧视图和俯视图三种，投影面分别与X轴、Y轴和Z轴垂直。xzyOZYXY主视图俯视图侧视图7-13三维形体及其三视图2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-743正轴测图正轴测有等轴测、正二测和正三测三种。当投影面与三个坐标轴之间的夹角都相等时为等轴测；当投影面与两个坐标轴之间的夹角相等时为正二测；当投影面与三个坐标轴之间的夹角都不相等时为正三测。2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-744xzyOxzyOxzyOxzyOxzyOxzyO(a)等轴测(b)正二测(c)正三测图7-14正轴测投影面及一个立方体的正轴测投影图投影平面投影平面投影平面2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-7451.三视图计算步骤：(1)确定三维形体上各点的位置坐标(2)引入齐次坐标，求出所作变换相应的变换矩阵(3)将所作变换用矩阵表示，通过运算求得三维形体上各点(x,y,z)经变换后的相应点(x',y')或(y',z')(4)由变换后的所有二维点绘出三维形体投影后的三视图。2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-7462.主视图将三维形体向xoz面（又称V面）作垂直投影（即正平行投影），得到主视图。xzyOZYXY主视图俯视图侧视图7-13三维形体及其三视图2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-7473.俯视图三维形体向xoy面（又称H面）作垂直投影得到俯视图，(1)投影变换(2)使H面绕x轴负转90°(3)使H面沿z方向平移一段距离-z0xzyOZYXY主视图俯视图侧视图7-13三维形体及其三视图2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-7484.侧视图获得侧视图是将三维形体往yoz面（侧面W）作垂直投影。(1)侧视图的投影变换(2)使W面绕z轴正转90°(3)使W面沿负x方向平移一段距离x0xzyOZYXY主视图俯视图侧视图7-13三维形体及其三视图2019/8/3华中理工大学计算机学院陆枫99-74