点集拓扑讲义期末复习题

一、证明下列是否为拓扑1、Tf={U包含于X|X-U有限}∪{空集}满足①全集、空集包含于Tf②任意A、B∈Tf若A、B中有一个为空集，A∩B=空集∈T。若不是，（A∩B）′=A′∪B′，A∪B∈T③设T1∈T，令T2=T1-{空集}。显然有∪A∈T1(A)=∪A∈T2(A).如果T2=空集，则∪A∈T1(A)=∪A∈T2(A)=空集∈T。设T2≠空集。任取A0∈T2.这时（∪A∈T1(A)）′=（∪A∈T2(A)）′=∪A∈T2(A′)∈A0′是X的一个有限子集，所以∪A∈T1(A)∈T。所以为拓扑。2、Tc={U包含于X|X-U可数}∪{空集}3、T∞={U包含于X|X-U无限}∪{空集}∪{X}二、计算实值标准拓扑R子空间Y=（0，1]，子集（0.1/2）=A。求A在Y、R中的闭包、内部。Y中：闭包（0,1/2].内部（0，1/2）R中：闭包[0,1/2].内部（0，1/2）三、A包含于Y，Y包含于X，为闭子空间。若A包含于Y则A为X中闭集。Y包含于X闭，所以存在X中闭集B使得A=Y∩B（子空间闭集定义），所以Y包含于X闭，所以A为X中闭集。四、设A、B、Aa包含于X，证明：1、A包含于B=A的闭包包含于B的闭包。2、A∪B=A∪B。3、∪Aa包含∪Aa。1、五、X、Y有子集A包含于X，B包含于Y，则A*B=A*B六、R:K={1/n|n∈R+}求在T1、T2、T3、T4、T5中的闭包。七、1、f:XY连续。2、任意B∈Y闭，f-1（B）闭。3、任意A包含于X，f（A）包含于f（A）。4、任意B包含于Y，f-1（B）包含f-1（B）。5、任意B包含于Y，f-1（B°）包含于（f-1（B））°证明1~5等价。八、连续的满的闭映射为商映射。九、商映射可以既不为开映射又不为闭映射。十、连通子集在连续映射下的像是联通的。十一、连通子集的闭包为连通子集。道路连通则连通,而且R^n中连通就是道路连通.A的闭包是对的,因为任意开覆盖有有限子覆盖,闭包的点可以用无穷点列逼近,自然可以每个点取个领域,组成开覆盖.十二、设A、B为（X,T）的紧致子集，则A∪B为紧致子集。十三、紧致子集在连续映射下的像集为紧致子集。十四、紧致空间的闭子集为紧致子集。十五、拓扑空间的有限子集均为紧致子集。十六、仿紧空间的闭子集为仿紧的。十七、X是T1空间等价与单点集为闭子集。十八、正规空间的闭子集是正规的，正则空间的子空间是正规的。十九、正则的T0空间是T3空间。二十、Hausdorff空间的子空间也是Hausdorff空间。二十一、Husdorff空间中的紧集为闭集。