拓朴学基础试题

1四川理工学院宜宾教学点《拓朴学》考试A卷(满分:100分考试时间:120分钟)学号姓名专业工作单位题号一二三四五总分评卷人得分得分评卷人一、单项选择题（本题共5个小题,每小题2分，共10分）1、设{,,}Xabc,那么()是X的一个拓扑.A.{,,{},{}}XabB.{,,{},{}}XacC.{,}XD.{,,{,},{,}}Xabac2、下列实数空间中的区间同胚的一组是()A.[,]ab,(,]abB.(,),(0,1)C.(,)ab,[,]abD.(,),(,]abab3、下列说法正确的是()A.Lindeloff空间一定是2A空间B.度量空间一定是2A空间C.可分空间一定是2A空间D.2A空间一定是可分空间4、在拓扑空间(,)X中,AX,若(),则称x是集合A的一个边界点.A.对于x的任何一个邻域U,既有UA,又有UA;B.x有一个邻域U,使得UA,而UA;C.x有一个邻域U,既有UA,又有UA;D.对于x的任何一个邻域U,使得UA,而UA.5、()不一定是隔离的.A.离散空间中任何两个无交的子集B.两个不同的连通分支C.两个无交的闭子集D.两个无交的开子集得分评卷人二、填空题（本题共10个小题,每小题2分，共20分）21、设X为由n个互不相同的元素构成的集合,X的幂集()X中有()个互不相同的元素.2、设X和Y是两个集合,:fXY,则对于任意BY,B()1(())ffB.3、如果存在一个从集合X到正整数集的(),则称集合X是一个可数集.4、拓扑学的中心任务便是研究()性质.5、拓扑空间中的每一个开集都能表为()中若干成员之并.6、如果拓扑空间X是一个道路连通空间,则X必然是一个().7、拓扑空间X是一个()空间当且仅当X中任意两个不同的单点集有不同的闭包.8、设X是一个拓扑空间,如果X的每一个开覆盖有一个有限子覆盖,则称X是一个()空间.9、Hausdorff空间中的任何一个收敛序列只有一个().10、积空间到它的坐标空间的()是一个满的连续开映射.得分评卷人三、简述题（本题共4个小题,每个小题5分，共20分）1、简述度量空间的定义。2、简述拓朴学中的介值定理与不动点定理。3、简述Lindeloff空间的定义4、简述Hausdorff空间的定义。31、设X是一个拓扑空间，,ABX，证明：xX是集合A的凝聚点当且仅当x是{}Ax的凝聚点.2、设,,XYZ都是拓扑空间,如果Y是X的一个子空间,Z是Y的一个子空间,证明：Z是X的一个子空间.3、设:[0,1][0,1]f是一个连续映射,证明：存在[0,1]z使得()fzz.4、设X是一个拓扑空间,证明：X是Hausdorff空间当且仅当积空间XX的对得分评卷人四、证明题（本题共4个小题，每个小题10分，共40分）4角线{(,)|}xxXXxX是一个闭集.得分评卷人五、简述题（本题共2个小题,每个小题5分，共10分）1、对于每一个n,令{|}nAmmn,简要说明{|}{}nAn是正整数集的一个拓扑.2、中的关系R定义为{(,)|,,}Rxyxyxy,说明R为等价关系.