空间谱估计基本原理

空间谱估计基本原理MUSIC，ESPRIT算法提纲空间谱估计概述阵列的数学模型及其统计特性多重信号分类算法（MUSIC）及其性能旋转不变子空间算法（ESPRIT）及其性能一、空间谱估计概述阵列信号处理将多个传感器布置在空间的特定位置组成传感器阵列，接收空间信号场中的信号，利用各个信号在空间位置上的差异，最大程度地增强所需要的信号，同时抑制干扰和噪声或不感兴趣的信号，达到提取各个空间信号源信号及其特征信息和参数的目的。阵列信号处理实质上是提高阵列输出的信噪比。特征信息和参数一般包括：空间信号源的方向、数目、信号的频率、相位、调制形式及波形等。阵列信号处理具有的优点灵活的波束控制较高的信号增益较强的干扰抑制能力很好的空间分辨能力阵列信号处理的两个主要研究方向自适应阵列处理(空域自适应滤波，自适应波束形成)研究在控制主瓣方向的同时自适应地抑制干扰的方法。空间谱估计(方向估计,角度估计,测向,DOA估计)研究空间阵列处理系统对感兴趣的空间信号的多种参数进行准确估计的方法。表示信号在空间各个方向上的能量分布。超(高)分辨谱估计能分辨一个波束宽度内的空间不同来向的信号，突破了“瑞利限”。阵列信号处理的技术或算法自适应阵列处理通过一定布置的空间阵元对空间信号场进行采样，然后经加权相加处理得到期望的输出结果。空间谱估计通过一定布置的空间阵元对空间信号场进行采样，利用阵列接收数据的相关性对其进行数学分解，将其划分为相互正交的信号和噪声子空间，利用两个子空间的正交性构造出空间谱函数。空间谱估计的发展及现状时域谱估计的简单空域扩展，常规波束形成法（CBF）时域的非线性谱估计方法推广为空间谱估计方法，谐波法,MEM,Capon法，线性预测类算法。20世纪70年代现代超分辨测向技术，特征分解类算法:MUSIC,ESPRIT20世纪70年代末，转折点，基本算法。1986年3月IEEETrans.AP专刊集中了研究成果子空间拟合类算法，以最大似然参数估计为基础，ML,WSF，1983年相干源估计的预处理算法，空间平滑类,矩阵重构类,非降维处理空间谱估计的研究现状优化算法，减小运算量，提高精度算法的实用化系统模型有偏差时的DOA估计多维空间谱估计二、阵列的数学模型及其统计特性估计系统结构假设N个远场窄带信号入射到空间某阵列上，该阵列由M个阵元组成，信号的复包络形式为信号的数学模型00(())j(()())j()()e()()ettiittiistutstut()()()()iiututtt00(()())jj()()e()ettiiistutst以阵列的某一阵元为参考阵元，则第l个阵元接收通道的信号为1()()()1,2,,NlliililixtgstntlM将M个阵元在特定时刻的接收信号写成矩阵的形式，且假设各阵元是各向同性的且通道一致、无互耦影响，gij=101020j111111j222211j11()()e()()()()e()()()()()()eiiMiNNiiiiiiiNNiiiiiiiMMNNMiiiMiiiigststxtntgststxtntxtntgstst01101201021022020102012-j-j-j11-j-j-j22-j-j-j()()()()eee()eee()eee()NNMMMNMMNntntntstntstntntsttX()()ttASNA为导向矢量阵（阵列流形矩阵），导向矢量为010200exp(j)exp(j)1,2,,2π2πexp(j)iiiMiciNfa可见，一旦求得阵元间的延迟τ就会得到导向矢量阵A。1(coscossincossin)xyzc1sinkikiyc阵元的位置信号入射方位角(1,2,,)kxkM(1,2,,)iiN1(coscossincos)kikiikiixyc阵元的位置信号入射方位角和俯仰角(,)(1,2,,)kkxykM(,)(1,2,,)iiiN()coscosM21kiiirπkτθφc骣骣-÷琪ç=-÷÷çç÷÷çç÷桫桫r为圆半径阵列模型的二阶统计特性统计分析的假设条件：信号源为窄带远场、零均值平稳随机信号，与阵元噪声相互独立；阵元为各向同性的，无互耦和通道不一致性；噪声以零均值加性高斯分布，为平稳随机过程，各阵元间噪声相互独立，空间平稳（各阵元噪声方差相等）；信号源数小于阵元的数目N＜M，信号的快拍数大于阵元数L＞M。阵列输出数据的协方差矩阵RS，RN分别为信号协方差矩阵和噪声协方差矩阵。对于空间理想的白噪声且噪声功率为σ2，则上式变为HHHHHSN{}{}{}EEERXXASSANNARARHH2SNSRARARARAI对R进行特征分解有HH1121,[],diag{,,}MiiiMMiRUΣUeeUeeΣ特征值满足关系2121NNM定义相对应的特征向量矩阵为2S1N1diag[,,],diag[,,]NNMΣΣIS12N12[],[]NNNMUeeeUeee数据协方差矩阵可分为两部分由US张成的信号子空间，由UN张成的噪声子空间[][]HHH2H1111HHHSNSNSSSNNNNMNMiiijiiiiiiiijNijNReeeeeeeeUUΣUUUΣUUΣU==+==+=+=+==+邋邋1212span{},span{}NNeeeeee==SN由入射信号的导向矢量张成空间与信号子空间为同一个空间1212span{}span{}NNeeeaaa==S信号子空间与噪声子空间正交，且有HHHHHSSNNSSNN0,,iAeUUUUIUUIUUI=+===具体实现中，数据协方差矩阵是用采样协方差矩阵的代替的数据协方差矩阵的最大似然估计实际采样数据是有限长度的，影响了模型的假设，改变了数据的相关性，也影响了两个子空间的正交性。实质上，整个问题变成了在有色噪声环境中，对相关信号源做目标参数估计的问题。常规波束形成器H11ˆLiLRXX==åHCBFH()()()()PaRaaa=三、多重信号分类算法(MUSIC)及其性能1.经典MUSIC算法（独立信号）数据协方差矩阵的最大似然估计及其特征矢量矩阵HSN11ˆˆˆ,,LiLRXXUU==å由于噪声的存在，导向矢量与噪声子空间不能完全正交，即HNˆ()0QaU=?因此，实际DOA估计是以最小优化搜索实现的，即HHMUSICNNˆˆˆargmin()()aUUa=而定义MUSIC算法的空间谱为MUSICHHNN1ˆˆ()()PaUUa=HMUSICHHNN()()ˆˆ()()PaaaUUa=HHNNMUSICHˆˆ()()ˆargmin()()aUUaaa=应用MUSIC算法应注意的问题非理想情况下，协方差矩阵的特征值满足下式，不能判断信号源数121NNM根据性质，有HHSSNNUUUUI+=MUSICHHSS1ˆˆ()()()PaIUUa=-理论上，利用信号子空间和噪声子空间估计参数是一致的，但实际应用时两者估计性能有差别线阵的信号参数搜索范围为，而面阵的范围为[90,90]-鞍[180,180]-鞍随着扫描角度的变化，当导向矢量属于信号子空间时，Q是一个趋于零的值，而当导向矢量不属于信号子空间时，Q是一个不为零的值，所以，P在信号源方向上会产生很尖的“谱峰”，而在其他方向上相对平坦MUSIC算法仿真，线阵，三个信号源平面阵两个信号源的MUSIC估计俯视图2.加权MUSIC算法（独立信号），约束最优化问题是MUSIC的推广形式HHHWMUSICNNNNˆˆˆˆˆargmin()()aUUWUUa=MVM算法，最小方差算法H11HHMVMNNNNˆˆˆˆˆargmin()(),aRaRUUWUU--==MEM算法，最大熵算法H111/2H11MEM00NN0ˆˆˆargmin()()(),()aRuRuaWUURu----==MNM算法，最小模算法HHHHTH1MNMNNNNNN00NN0ˆˆˆˆˆˆˆˆˆargmin()(),()aUUWUUaWUUuuUUu-==-100-80-60-40-20020406080100-140-120-100-80-60-40-200jiaoduP/dBMNM-Music-100-80-60-40-20020406080100-300-250-200-150-100-500jiaodudBMEM-Music-100-80-60-40-20020406080100-160-140-120-100-80-60-40-200jiaodudBMVM-Music加权MUSIC各算法仿真算法的性能分析性能分析主要是理想情况下的理论性能和分辨力，包括估计偏差、估计方差、成功概率；谱与信噪比、阵元数、阵元间距、快拍数、CRB的关系；分辨力与信噪比、阵元数、阵元间距、快拍数的关系。3.MUSIC算法的性能分析MNM估计偏差小于MUSIC，但估计方差大于MUSIC；当快拍数L较大、信号不相干及信噪比SNR较大时，即理想情况下，MUSIC算法的性能接近克拉美-罗界CRB；信号相干性对MUSIC影响很大；MUSIC的估计方差优于WMUSIC，即最优权W=I；MUSIC算法的分辨力门限与阵列孔径、角度差、波长成负四次方幂的关系；理想条件下的CRB与快拍数L、阵元数M、信噪比SNR成反比；由加权MUSIC算法可以得出各种算法之间的关系，表现为权矩阵的选取问题，其实质是约束条件问题。4.基于解相干的MUSIC算法相干信号源数学模型0()()1,2,,iiststin==112200()()()()()()()()()()()nnststttttsttsttstXASNANANAαN轾轾犏犏犏犏犏犏=+=+=+=+犏犏犏犏犏犏臌臌式中，α是复常数矢量，s0(t)为生成信源数据协方差矩阵的秩降低，信号子空间的维数小于信源数，信号子空间“扩散”到噪声子空间，导向矢量与噪声子空间不完全正交，无法正确估计信号源方向解相干预处理：降维处理和非降维处理空间平滑算法---适于均匀线列阵（ULA）将M个阵元的均匀线列阵分成p个子阵，每个子阵的阵元数m，m＞N，则有M=p+m-1以最左的子阵为参考子阵，于是每个子阵的输出向量为基本思想是将均匀线列阵分成若干个相互重叠的子阵列，若子阵的阵列流形相同，则子阵列的协方差矩阵可以平均。T112T2231T11T11mmkkkmkpppmpXxxxXxxxXxxxXxxx01j()()()()1,2,,()e,(1)sin/2sin,1,2,,liNlliilililiiiitttlMldcdiNxasna取最左边的子阵为参考子阵，对于第k个子阵的阵列输出其中,Am是子阵列的方向矩阵，对于ULA是m×N维的范德蒙矩阵(1)()()()kkkttmXADSN1212jj(1)TjjjT11()[()()()]()[1ee]diag[eee]()[]iiNmmmmNmmikkkmktnnn