数字信号处理课后习题答案-第六章习题与答案

精品文档.1．用冲激响应不变法将以下)(sHa变换为)(zH，抽样周期为T。为任意正整数,)()()2()()()1(022nssAsHbasassHnaa分析：①冲激响应不变法满足)()()(nThthnhanTta，T为抽样间隔。这种变换法必须)(sHa先用部分分式展开。②第（2）小题要复习拉普拉斯变换公式1!][nnSntL,nantsaSSAsHtuntAeth)()()()!1()(010，可求出)()()(kTThtThkhakTta，又dzzdXzkkx)()(，则可递推求解。解:(1)22111()()2asaHssabsajbsajb)(21)()()(tueethtjbatjbaa由冲激响应不变法可得：()()()()()2ajbnTajbnTaThnThnTeeun11011()()211naTjbTaTjbTnTHzhnzeezeez2211cos21cos1zebTzebTzeTaTaTaT(2)先引用拉氏变换的结论1!nnsntL精品文档.可得：nassAsH)()(0)()!1()(10tuntAethntsa则)()!1()()()(10kunkTAeTTkThkhnkTsadzzdXzkkxazkuaZZk)()(,11)(1且按)11()()!1()()!1()()(111111000zedzdznATezknTTAzkhzHTsnnkkTsnnkk可得,3,2)1(1,1)(111000nzezeATnzeATzHnTsTSnTs，可以递推求得：2.已知模拟二阶巴特沃思低通滤波器的归一化系统函数为：2'4142136.111)(sssHa而3dB截止频率为50Hz的模拟滤波器，需将归一化的)('sHa中的s变量用502s来代替424'108696044.928830.444108696044.9)100()(sssHsHaa设系统抽样频率为Hzfs500，要求从这一低通模拟滤波器设计一个低通数字滤波器，采用阶跃响应不变法。分析：精品文档.阶跃响应不变法，使离散系统的阶跃响应等于连续系统阶跃响应的等间隔抽样，)()()(nTgtgnganTta,由模拟系统函数)(sHa变换成数字系统函数的关系式为：}]])([{[1)(1nTtassHLZzzzH，还要用到一些变换关系式。解:根据书上公式可得模拟滤波器阶跃响应的拉普拉斯变换为：)(1)(sHssGaa)108696044.928830.444(108696044.9424sss22)14415.222()14415.222(14415.222)14415.222(1sss由于20200)()()(sinastuteLat2020)()()(cosasastuteLatstuL1)(故)()(1sGLtgaau(t))]}14415.222cos()14415.222[sin(1{14415.222ttet则)()(nTgngau(n))]}T14415.222cos()T14415.222[sin(1{nT14415.222nne利用以下z变换关系：)()(zXnxZ精品文档.)()(zeXnxeZaTnaT1cos2sin)()(sin2aTzzaTznunaTZ1cos2cos)()(cos22aTzzaTzznunaTZ1)(zznuZ且代入a=222.14415sfTs310250011可得阶跃响应的z变换)()(ngZzG41124070.01580459.130339071.0122zzzzzz)41124070.01580459.1)(1(10784999.014534481.022zzzzz由此可得数字低通滤波器的系统函数为：)(1)(zGzzzH212141124070.01580459.1110784999.014534481.0zzzz3．设有一模拟滤波器11)(2sssHa抽样周期T=2，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数)(zH。分析：双线性变换法将模拟系统函数的S平面和离散的系统函数的Z平面之间是一一对应的关系，消除了频谱的混叠现象，变换关系为1111zzcs。解：精品文档.由变换公式1111zzcs及Tc2可得：T=2时：1111zzs1111|)()(zzsasHzH11111111211zzzz2213)1(zz4．要求从二阶巴特沃思模拟滤波器用双线性变换导出一低通数字滤波器，已知3dB截止频率为100Hz，系统抽样频率为1kHz。解:归一化的二阶巴特沃思滤波器的系统函数为：2211()1.4142136121aHsssss则将css代入得出截止频率为c的模拟原型为1)200(4142136.1)200(1)(2sssHa18.39478458.88818.3947842ss由双线性变换公式可得：11112|)()(zzTsasHzH18.394784)11102(58.888)11102(18.3947841132113zzzz精品文档.21214241.01683.11)21(064.0zzzz5.试导出二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数（设sradc1）。解:幅度平方函数为：42)/(11|)(|cjH令22s，则有4)/(11)()(caassHsH各极点满足下式：]4122[kjckes，k=1,2,3,4则k=1,2时，所得的ks即为)(sHa的极点：3412222jcsej542323222jcsej由以上两个极点构成的系统函数为3233)(3,1)(0323))(()(2020210sssHksHssskssssksHaaa所以可得时代入6.试导出二阶切贝雪夫低通滤波器的系统函数。已知通带波纹为2dB，归一化截止频率为sradc1。(试用不同于书本的解法解答）解:精品文档.7647831.05848932.05848932.011011022.010211则，由于dB因为截止频率为sradc2，则-0.804222)765.01(21)4sin()1(14sin111shshshNshacc）（378.1222)765.01(21)4cos()1(1)4cos(111shchshNchbcc0116057.17943282.02735362.17943282.011)0()0(022735362.1608.10116057.1))(()(378.1804.0378.1804.02221121AHsNssssssAsHjssjsaa可求得时，有故是偶数，因为则则精品文档.7.已知模拟滤波器有低通、高通、带通、带阻等类型，而实际应用中的数字滤波器有低通、高通、带通、带阻等类型。则设计各类型数字滤波器可以有哪些方法？试画出这些方法的结构表示图并注明其变换方法。模拟—模拟频带变换数字化(a)先模拟频带变换，再数字化(b)把(a)的两步合成一步直接设计数字化数字—数字频带变换(c)先数字化，再进行数字频带变换8.某一低通滤波器的各种指标和参量要求如下：(1)巴特沃思频率响应，采用双线性变换法设计；(2)当Hzf5.20时，衰减小于3dB；(3)当Hzf50时，衰减大于或等于40dB；(4)抽样频率Hzfs200。试确定系统函数)(zH,并求每级阶数不超过二阶的级联系统函数。解：3s105f1T2200150224020015.222TfTfststcc采用双线性变换法:)2(tgT2模拟归一化原型模拟低通、高通、带通、带阻数字低通、高通、带通、带阻数字低通、高通、带通、带阻数字低通数字低通、高通、带通、带阻模拟归一化原型模拟归一化原型精品文档.由指标要求得：404tg400jH20380tg400jH20a10a10|)((|log|)((|log又N2c2a)(11)j(H故])([log|)(|logN2c10a10110jH2040)4(4001log103)80(4001log10210210NcNctgjtgj因而取等号计算，则有：)2(.............10]/)4/(400[(1)1(............10]/)80/(400[1423.02NcNctgtg得42.1)]80/(/1log[)]110/()110log[(213.04tgN取N=2,代入(1)式使通带边沿满足要求，7.15c可得又二阶归一化巴特沃思滤波器为：1s4142136.1s1)s(H2a代入c/ss：精品文档.5.246s2.22s5.246)s(H2a由双线性变换1111400|)()(zzsasHzH2121221)1(5.246)1()1(4002.22)]1(400[5.246zzzz)895.0889.11(11.6862110513665.1)21(1019507.310691265.15.24621212521155zzzzzzzz或者也可将N=2代入(2)中使阻带边沿满足要求，可得40c，这样可得：1600s240s1600sH2a)(14115z198z8686zz21zH1221..)(看题目要求。具体取值应，的系统传输函数故得到不同先后两次取不同的值，同的指标要求，为了满足通带、阻带不cczH)(9.用双线性变换法设计一个六阶巴特沃思数字带通滤波器，抽样频率为Hzfs500，上、下边带截止频率分别为Hzf1502，Hzf301。解：由模拟低通→数字带通535002150fT253500230fTs222s111取归一化原型，1c，则有：精品文档.1682.1)256cos()259cos(2]2/)cos[(]2/)cos[(2E0649.1)256(ctg)2(ctgD122112c查表得三阶归一化巴特沃思低通滤波器的系统函数为：1221)(23ssssHLp221z1zEz1DsLpsHzH|)()(1C064912B2A123.22111682.110649.1ZZZCBA其中代入后整理可得：79956.832)1(2)33(01872.12243,60535.6122331)(22322323654643212DDEDEJEDEDEDIDDDHzNzMzLzzzKzJzIHzz