数学分析11.2无穷积分的性质与收敛判别

第十一章反常积分2无穷积分的性质与收敛判别定理11.1：无穷积分∞af(x)dx收敛的充要条件是：任给ε0，存在G≥a，只要u1,u2G，便有|2uaf(x)dx-1uaf(x)dx|=|21uuf(x)dx|ε.性质1：若∞a1(x)fdx与∞a2(x)fdx都收敛，则∞a2211(x)]fk(x)f[kdx也收敛(k1,k2为任意常数)，且∞a2211(x)]fk(x)f[kdx=k1∞a1(x)fdx+k2∞a2(x)fdx.性质2：若f在任何有限区间[a,u]上可积，ab，则∞af(x)dx与∞bf(x)dx同敛态(即同时收敛或同时发散)，且有∞af(x)dx=baf(x)dx+∞bf(x)dx.注：性质2相当于定积分区间可加性，由它又可导出∞af(x)dx收敛的另一充要条件：任给ε0，存在G≥a，只要uG，总有|∞af(x)dx|ε.又可由∞af(x)dx=uaf(x)dx+∞uf(x)dx结合无穷积分的收敛定义而得.性质3：若f在任何有限区间[a,u]上可积，且有∞a|f(x)|dx收敛，则∞af(x)dx亦必收敛，并有|∞af(x)dx|≤∞a|f(x)|dx.证：由∞a|f(x)|dx收敛，根据柯西准则的必要性，任给ε0，存在G≥a，当u2u1G时，总有|21uu|f(x)|dx|=21uu|f(x)|dxε.利用定积分的绝对值不等式，又有|21uuf(x)dx|≤21uu|f(x)|dxε.又根据柯西准则的充分性，证得∞af(x)dx收敛.对|uaf(x)dx|≤ua|f(x)|dx(ua)两边令u→+∞取极限，可得|∞af(x)dx|≤∞a|f(x)|dx.注：当∞a|f(x)|dx收敛时，称∞af(x)dx为绝对收敛.性质3指出：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛.但逆命题一般不成立.收敛而不绝对收敛的反常积分又称为条件收敛.二、比较判别法定理11.2：(比较法则)设定义在[a,+∞)上的两个函数f和g都在任何有限区间[a,u]上可积，且满足|f(x)|≤g(x),x∈[a,+∞)，则当∞ag(x)dx收敛时∞a|f(x)|dx必收敛(或者当∞a|f(x)|dx发散时，∞ag(x)dx必发散).证：若∞ag(x)dx收敛，则任给ε0，存在G≥a，只要u2u1G，总有|21uug(x)dx|ε.又|f(x)|≤g(x),x∈[a,+∞)，∴|21uu|f(x)|dx|=21uu|f(x)|dx≤21uug(x)dx≤|21uug(x)dx|ε，∴∞a|f(x)|dx收敛.若∞a|f(x)|dx发散，则存在ε00，对任何G≥a，只要u2u1G，总有|21uu|f(x)|dx|ε0.又|f(x)|≤g(x),x∈[a,+∞)，∴|21uug(x)dx|≥21uug(x)dx≥21uu|f(x)|dx=|21uu|f(x)|dx|ε0.∴∞ag(x)dx发散.例1：讨论∞02x1sinxdx的收敛性.解：∵2x1sinx≤2x11,x∈[0,+∞)；又∞02x11dx=∞ulimarctanu=2π,收敛.根据比较法则知：∞02x1sinxdx绝对收敛.推论1：若f和g都在[a,u]上可积，g(x)0，且)x(g|)x(f|lim∞x=c，则有：(1)当0c+∞时，∞a|f(x)|dx与∞ag(x)dx同敛态；(2)当c=0时，由∞ag(x)dx收敛可推知∞a|f(x)|dx也收敛；(3)当c=+∞时，由∞ag(x)dx发散可推知∞a|f(x)|dx也发散.证：∵)x(g|)x(f|lim∞x=c，∴任给ε0，存在N，当xN时，有|)x(g|)x(f|-c|ε，即有(c-ε)g(x)|f(x)|(c+ε)g(x).(1)由比较原则得∞a|f(x)|dx与∞ag(x)dx同敛态；(2)由|f(x)|εg(x)知，若∞ag(x)dx收敛，则∞a|f(x)|dx也收敛；(3)当x=+∞时，)x(g|)x(f|lim∞x=+∞，任给M0，存在G，当xG时，就有)x(g|)x(f|M，即|f(x)|Mg(x)，∴当∞ag(x)dx发散，∞a|f(x)|dx也发散.推论2：设f定义于[a,+∞)(a0)，且在任何有限区间[a,u]上可积，则有：(1)当|f(x)|≤px1,x∈[a,+∞),且p1时，∞a|f(x)|dx收敛；(2)当|f(x)|≥px1,x∈[a,+∞),且p≤1时，∞a|f(x)|dx发散.推论3：设f定义于[a,+∞)，在任何[a,u]上可积，且∞xlimxp|f(x)|=λ.则有：(1)当p1,0≤λ+∞时，∞a|f(x)|dx收敛；(2)当p≤1,0λ≤+∞时，∞a|f(x)|dx发散.注：推论2、3又称为柯西判别法.例2：讨论下列无穷限积分的收敛性：(1)∞1x-aexdx；(2)∞0521xxdx.解：(1)∵对任意实数a，有-xa2∞xexxlim=x2a∞xexlim=0，由推论3(p=2,λ=0)可知，对任何实数a,∞1x-aexdx收敛.(2)∵有1xxxlim5221∞x=1，由推论3(p=21,λ=1)可知，∞0521xxdx发散.三、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法定理11.3：(狄利克雷判别法)若F(u)=uaf(x)dx在[a,+∞)上有界，g(x)在[a,+∞)上当x→+∞时单调趋于0，则∞af(x)g(x)dx收敛.证：由条件设|uaf(x)dx|≤M,u∈[a,+∞),任给ε0，∵∞xlimg(x)=0,∴存在G≥a,当xG时，有|g(x)|M4ε.又g为单调函数，利用积分第二中值定理，对任何u2u1G,存在ξ∈[u1,u2],使得21uuf(x)g(x)dx=g(u1)ξu1f(x)dx+g(u2)2uξf(x)dx.于是有|21uuf(x)g(x)dx|≤|g(u1)|·|ξu1f(x)dx|+|g(u2)|·|2uξf(x)dx|=|g(u1)|·|ξaf(x)dx-1uaf(x)dx|+|g(u2)|·|2uaf(x)dx-ξaf(x)dx|=M4ε·2M+M4ε·2M=ε.由柯西准则可知：∞af(x)g(x)dx收敛.定理11.4：(阿贝尔(Abel)判别法)若∞af(x)dx收敛，g(x)在[a,+∞)上单调有界，则∞af(x)g(x)dx收敛.证：记F(u)=uaf(x)dx,∵∞af(x)dx收敛，∴ua∞uf(x)limdx存在，记为J，取ε=1，存在A，当nA时，有|F(u)-J|1，∴|F(u)||J|+1.又F(u)在[a,+∞)上连续，从而有界.又g(x)在[a,+∞)上单调有界，∴∞xlimg(x)存在，记为B，令g1(x)=g(x)-B，则有∞xlimg1(x)=∞xlimg(x)-B=0，∴g1(x)单调趋于0，由狄利克雷判别法知：∞a1(x)f(x)gdx=∞aB]-f(x)[g(x)dx收敛.∴∞af(x)g(x)dx=∞aB]-f(x)[g(x)dx+B∞af(x)dx收敛.例3：讨论∞1pxsinxdx与∞1pxcosxdx(p0)的收敛性.解：当p1时，pxsinx≤px1,x∈[1,+∞)，而∞1pxdx当p1时收敛，由比较法则推知：∞1pxsinxdx收敛，即∞1pxsinxdx绝对收敛.同理，可证当p1时，∞1pxcosxdx绝对收敛.当0p≤1时，对任意u≥1,有|u1pxsinxdx|=|cos1-cosu|2,当p0时，p∞xx1lim=0，且px1在[1,+∞)单调减，根据狄利克雷判别法知：∞1pxsinxdx(p0)收敛.又由pxsinx≥xxsin2=2x1-2xcos2x,x∈[1,+∞)，其中∞12xcos2xdx=∞1tcost21dt满足狄利克雷判别条件而收敛，而∞12xdx发散，∴当0p≤1时，∞1pxcosxdx条件收敛.同理，可证当0p≤1时，∞1pxcosxdx条件收敛.例4：证明下列无穷积分都是条件收敛的：∞12xsindx;∞12cosxdx;∞14xcosxdx.证：∞12xsindx=∞1t2tsindt;∞12cosxdx=∞1t2costdt;由例3可知∞12xsindx和∞12cosxdx都是条件收敛.又∞14xcosxdx=∞12cost21dt，∴∞14xcosxdx条件收敛.习题1、设f与g是定义在[a,+∞)上的函数，对任何ua，它们在[a,u]上都可积.证明：若∞a2)x(fdx与∞a2)x(gdx都收敛，则∞a)x(f(x)gdx与∞a2)]x(g[f(x)dx也都收敛证：∵∞a2)x(fdx与∞a2)x(gdx都收敛，∴)]x(g)x([f2∞a2dx也收敛.又|2f(x)g(x)|≤f2(x)+g2(x)，由比较法则知2∞a|)x(f(x)g|dx也收敛.∴∞a)x(f(x)gdx收敛.∴∞a2)]x(g[f(x)dx=∞a2)x(fdx+2∞a)x(f(x)gdx+∞a2)x(gdx，也收敛.2、设f,g,h是定义在[a,+∞)上的三个连续函数，且有h(x)≤f(x)≤g(x).证明：(1)若∞a)x(hdx与∞a)x(gdx都收敛，则∞af(x)dx也收敛；(2)又若∞a)x(hdx=∞a)x(gdx=A，则∞af(x)dx=A.证：(1)若0≤f(x)≤g(x)，∵∞a)x(gdx收敛，由比较法则知∞af(x)dx也收敛.若h(x)≤f(x)≤0，则|f(x)|≤-h(x)，∵∞a)x(h-dx=-∞a)x(hdx收敛，由比较法则知∞a|f(x)|dx也收敛，∴∞af(x)dx也收敛.(2)由∞a)x(hdx=∞a)x(gdx=A得，ua∞u)x(hlimdx=ua∞u)x(glimdx=A.又h(x)≤f(x)≤g(x)，由极限的夹逼定理得：ua∞u)x(flimdx=A，∴∞af(x)dx=A.3、讨论下列无穷积分的收敛性：(1)∞+0341xdx；(2)∞+1xe-1xdx；(3)∞+0x1dx；(4)∞+13x1xarctanxdx；(5)∞+1nxx)ln(1dx；(6)∞+0nmx1xdx(n,m≥0).解：(1)∵3434∞x1x1xlim=1，p1，0λ+∞，∴∞+0341xdx收敛.(2)∵x2∞xe-1xxlim=0，p=2，λ=0，∴∞+1xe-1xdx收敛.(3)∵x11xlim∞x=1，p=21，λ=1，∴∞+0x1dxdx发散.(4)∵arctanxx1xarctanxlim3∞x=0，且∞+1arctanxdx=2π-arctan1收敛，∴∞+13x1xarctanxdx收敛.(5)当n1时，取p∈(1,n)，∵np∞xxx)ln(1xlim=0，∴∞+1nxx)ln(1dx收敛.当n≤1时，∵nn∞xxx)ln(1xlim=+∞，∴∞+1nxx)ln(1dx发散.(6)∵nmm-n∞xx1xxlim=1，∴当n-m1时，∞+0nmx1xdx收敛;当n-m≤1时，∞+0nmx1xdx发散.4、讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛：(1)∞+1xx