理论力学(周衍柏)第一章

理论力学：Theoreticalmechanics力学的分类宏观系统微观系统低速运动——量子力学高速运动——量子场论（相对论量子力学）高速运动(v接近c)--相对论力学低速运动(v远远小于c)--经典力学（以观点分）（以对象分）（以方法分）运动学动力学静力学质点力学质点组力学刚体力学牛顿力学（矢量力学）分析力学连续介质力学注：连续介质力学(包括弹性体力学和流体力学)是研究质量连续分布的可变形物体运动规律的科学。理论力学：Theoreticalmechanics第一章质点力学§1.1运动的描述方法一、参照系与坐标系1.参照系物质的运动是绝对的，运动的描述是相对的。物体的位置只能相对地确定，为研究一个物体必须事先选定另一个物体作为参考标准（参照物），这样的物体就叫做参照系或参考系。①参照物不同，对同一个物体运动的描述结果可能不同；②观察者是站在参照系的观察点上；③不特别说明都以地球为参照系。说明：2.坐标系理论力学：Theoreticalmechanics为了定量研究的空间位置，就必须在参考系上建立坐标系。参照系确定后，在参照系上选择适宜的坐标系，便于用教学方式描述质点在空间的相对位置（方法）。3、质点及位置的描述(1)质点：理想模型，有一定质量的几何点（物体形状可忽略，物体作平动）。在研究物体的机械运动时，不考虑物体的大小和形状，而只计及其质量的力学模型就叫质点。(2)位置描述②坐标描述：①质点相对某参照系的位置，可由位矢r确定;直角坐标系:kzjyixr理论力学：Theoreticalmechanics二、运动学方程及轨道1、运动方程极坐标系：),(rP描述物体在参考空间中任一瞬时位置的数学表达式称为运动学方程。质点的运动学方程确定了点在参考空间中任一瞬时的位置，并由此可进一步揭示质点运动的几何性质：轨迹、速度和加速度等。写出质点的运动学方程是研究质点的运动学的首要任务。一般常用的方程有（1）矢量形式的运动学方程)(trr自然坐标系：osP()Ps理论力学：Theoreticalmechanics当质点运动时r是时间t的单值连续函数。此方程常用来进行理论推导。它的特点是概念清晰，是矢量法分析质点运动的基础。（2）直角坐标形式的运动学方程)()()(tzztyytxx这是常用的运动学方程，尤其当质点的轨迹未知时。它是代数方程，虽然依赖于坐标系，但是运算容易。（3）极坐标下的运动学方程)()(ttrr当质点在某平面上运动时，在任一瞬时，其位置也可用极坐标确定。理论力学：Theoreticalmechanics（4）自然坐标形式的运动学方程)(tss对运动轨迹已知的质点，常用此方程。用自然法研究运动，运算比较简便，各运动参数的物理意义明确。质点在参考空间中的位置还可用其它的方法确定，例如柱坐标法或球坐标法。通过坐标形式的方程表示质点的运动方程，并由此继续描述质点的其它运动量的方法称为分析方法。2、轨道质点运动过程中在空间描述出的连续曲线,运动学方程中消去t得轨道方程。(直线运动、曲线运动)。三、位移、速度、加速度1、位移：理论力学：Theoreticalmechanics2、速度：r理论力学：Theoreticalmechanics3、加速度：理论力学：Theoreticalmechanics§1.2速度、加速度分量表示式一、直角坐标系kzjyixr1、速度：分量式：大小：理论力学：Theoreticalmechanics方向：可用速度与三个坐标轴的方向余弦表示222222222//),(cos//),(cos//),(coszyxzvvkvzyxyvvjvzyxxvvivzyx2、加速度：分量式：理论力学：Theoreticalmechanics大小：[例1]设椭圆规尺AB的端点A与端点B沿直线导槽ox及oy滑动（如下图所示），而B以匀速度c运动，求椭圆规尺上M点的轨道方程，速度及加速度.设MA=a,MB=b,.OBA理论力学：Theoreticalmechanics理论力学：Theoreticalmechanics32243223221csc)(sin1)(xbacbbabcbabc4222231MbcaaxyxabM点速度的方向：MMyxcos,cosM点加速度的方向：MMayaxcos,cos理论力学：Theoreticalmechanics[例2]解：建立直角坐标系，小环的运动学方程为：222coscos2sinsin2xRRtxyRyRRt轨迹为圆求速度222sin222cos2xxyyRtRRt求加速度222224cos244sin2xxyyaRtaaaRaRt理论力学：Theoreticalmechanics二、极坐标系理论力学：Theoreticalmechanics1、速度：注意:方向都变化，乘积函数求导。ji,①先求：diiid10d理论力学：Theoreticalmechanics同理：②速度分量式：大小：理论力学：Theoreticalmechanics2、加速度()darrirjdtririrjrjrj即：22rirjrjri22rrirrj理论力学：Theoreticalmechanics2、加速度推广到柱坐标（平面极坐标加垂直的z坐标）理论力学：Theoreticalmechanics[例3]已知一质点的运动方程为,,bterct试求其速度与加速度。cbre理论力学：Theoreticalmechanics[例4]理论力学：Theoreticalmechanics理论力学：Theoreticalmechanics[例5]0t(3)0222rrc解：由已知条件（1）（2）理论力学：Theoreticalmechanics(3)、(4)二式即为运动学方程000sincrtt消去t得轨道方程0sincr轨道为两个圆理论力学：Theoreticalmechanics三、自然坐标系1、理论力学：Theoreticalmechanicsddsnndsdt理论力学：Theoreticalmechanics3、速度4、加速度理论力学：Theoreticalmechanics4、密切面理论力学：Theoreticalmechanics理论力学：Theoreticalmechanics理论力学：Theoreticalmechanics理论力学：Theoreticalmechanics[例6]一质点沿圆滚线的弧线运动，如为一常数，则其加速度亦为一常数，试证明之。为圆滚线某点P上的切线与水平线(x轴)所成的角度，s为P点与曲线最低点之间的曲线弧长。s4sina解:因，求速率4sinsa4cos4cosdsaadt式中常量假设求加速度24sintdaadt224cos4cosnsaaad其中＝d所以2224tnaaaa常数理论力学：Theoreticalmechanics解:[例7]设质点P沿螺旋线运动，试求速度、加速度及轨道的曲率半径。t4sin2xt4cos2yt4z理论力学：Theoreticalmechanics[例8]理论力学：Theoreticalmechanics§1.3平动参照系一、绝对速度、相对速度与牵连速度2.不同参照系下研究点的运动的关系:P1.如行驶的船中有小车运货。参照系(船)相对于参照系（地球)作平动,称为对的平动参照系，一般称为静系，为动系。SSSSSS其中为相对于静系的速度，称为绝对速度。PS理论力学：Theoreticalmechanics【例题1】某人以4km/h向东前进,感觉风从正北吹来,以8km/h向东前进,感觉风从东北吹来,求风速和风向.1、先确定是相对运动问题,一个被考察的质点和两个做相对运动的参考系。解：2、确定动系和静系静系：地面动系：人研究对象：风为P相对于动系的速度，称为相对速度。SP点同时参与两种运动：相对于动系的运动；被动系带着一起以运动0SS为系相对于静系的速度，称为牵连速度。0SS理论力学：Theoreticalmechanics由：:人行走速度，：风速(相对于地)，:风相对于人的速度0理论力学：Theoreticalmechanics得：得：解得：22y理论力学：Theoreticalmechanics因此：4,4xy风速：2242/xykmh风向：西北风以矢量方式求解：理论力学：Theoreticalmechanics【例2】小船M被水流冲走后，用一绳将它拉回岸边A点，假定水流速度C1沿河宽不变，而拉绳子的速度则为C2，如小船可以看成一个质点，求小船的轨迹.确定动系和静系静系：河岸动系：河流研究对象：小船解：ij理论力学：Theoreticalmechanics20011cossindcirjdtcicji由：选取极坐标,得:牵连速度，：绝对速度，:相对速度0ij理论力学：Theoreticalmechanics两式相除得：)2()ln(tantan)(tan2cos2sin2sinln　　Ckdkdkdkr理论力学：Theoreticalmechanics00cottankkrr00000000tantanlnln)ln(tanln)ln(tanln,0kkkkrrrCCrrrt则时根据初始条件：当理论力学：Theoreticalmechanics二、绝对加速度、相对加速度与牵连加速度动系S相对于静系S´做匀加速直线运动由得:理论力学：Theoreticalmechanics§1.4质点运动定律（1）什么样的参照系是惯性系？（2）什么样的参照系是非惯性系？（3）如何判断一个参照系是静止还是做匀速直线运动(力学相对性原理)？（4）地球是个绝对的惯性系吗？（5）力与加速度方向的关系如何？回答下列问题：理论力学：Theoreticalmechanics注意以下几点:第一定律是第二定律所不可缺少的前提，因为第一定律为整个力学体系选定了一类特殊的参考系-----惯性参考系第二定律中的质量是惯性质量,与万有引力中的引力质量相比，近年来的实验结果已经证实相差不到10-12.爱因斯坦把引力质量等于惯性质量作为广义相对论的基本公设.一般工程问题地球可以看作惯性参考系；如果物体运动的尺度很大而且对精确度要求很高,应当考虑地球自转的影响,可取地心为惯性参考系；在分析行星的运动时，地心本身作公转，必须取日心参考系。太阳本身在银河系的加速度大约是3×10-10米/秒2，一般来说可以不用考虑了，可以认为足够精确的了.理论力学：Theoreticalmechanics基本定律:质量为的质点受力的作用，在惯性系中的加速度为,则:m1iFina理论力学：Theoreticalmechanics§1.5质点运动微分方程一、微分方程的建立1.自由质点的运动限制质点运动的条件称为约束，不受约束的质点称为自由质点。(1)直角坐标系三个二阶常微分方程构成微分方程组，给出初始条件：即可解得质点的运动规律。理论力学：Theoreticalmechanics(2)平面极坐标如果质点在xy平面上运动