专题——中点的妙用(初三数学)

1方法专题:中点的妙用联想是一种非常重要的数学品质。善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。看到中点该想到什么？1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；5、有中点时常构造垂直平分线；6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；7、倍长中线8、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质1、如图1所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A．65B．95C．125D．165二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”2、如图，在Ｒｔ⊿ABC中，∠A=90°,AC=AB,M、N分别在AC、AB上。且AN=BM.O为斜边BC的中点.试判断△OMN的形状，并说明理由.3、如图，正方形ABCD的边长为2,将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按ADCBA滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按BADCB滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（）A.2B.4－C.D.1NMBOCADABC第8题图QFM2三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”4、（直接找线段的中点，应用中位线定理）如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC=BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F.你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗？5、（利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理）如图所示，在三角形ABC中，AD是三角形ABC∠BAC的角平分线，BD⊥AD，点D是垂足，点E是边BC的中点，如果AB=6,AC=14，求DE的长6、（利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理）如图所示，AB∥CD，BC∥AD，DE⊥BE，DF=EF，甲从B出发，沿着BA、AD、DF的方向运动，乙B出发，沿着BC、CE、EF的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B出发，则谁先到达F点？7、（综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系问题）如图，等腰梯形ABCD中，CD∥AB，对角线AC、BD相交于点O，60ACD，点S、P、Q分别是DO、AO、BC的中点.求证：△SPQ是等边三角形。四、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）8、如图：梯形ABCD中，∠A=90°,AD//BC,AD=1,BC=2,CD=3,E为AB中点，求证：DE⊥ECEDCBA图2-1FEDMNCBAPOABCD图6-1SQ39、如图甲，在正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC）中，点B、C、G在同一直线上，M是AE的中点，（1）探究线段MD、MF的位置及数量关系，并证明；（2）将图甲中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明五、有中点时常构造垂直平分线10、如图所示，在△ABC中，AD是BC边上中线，∠C=2∠B.AC=21BC。求证：△ADC为等边三角形。六、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）11、（1）探索：已知ABC的面积为a，①如图1，延长ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA，若ACD的面积为1S，则1S=（用含a的代数式表示）②如图2，延长ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE，若DEC的面积为2S，则2S=（用含a的代数式表示）③在图2的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连接FD，FE,得到DEF（如图3），若阴影部分的面积为3S，3S=（用含a的代数式表示）⑵发现：像上面那样，将ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到DEF（如图4），此时，我们称ABC向外扩展了一次。可以发现，扩展一次后得到的DEF的面积是原来ABC面积的倍⑶应用：如图5，若△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，顺次连结A1，B1，C1，得到△A1B1C1.第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连结A2，B2，C2，得到△A2B2C2，第三次操作…，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2010，最少．．要．经过次操作.ABCDFGEM图乙图甲BACEDFGMBDCA412、如图所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，点E是CD的中点，连接AE、BE，求证：S△ABE=21S四边形ABCD。13、如图，M是ABCD中AB边的中点。CM交BD于点E,则图中阴影部分面积与ABCD面积之比为14、如图所示，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则ABCDAGCDSS矩形四边形等于：A、65B、54C、43D、32七、倍长中线15、如图，△ABC中，D为BC中点，AB=5，AD=6，AC=13。求证：AB⊥AD16、如图，点D、E三等分△ABC的BC边，求证：AB+ACAD+AE17、如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C，分别以AC、BC为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACE与BCF，连结DE、DF、EF，求证：△DEF为等腰直角三角形。八、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”18、半径是5cm的圆中，圆心到8cm长的弦的距离是________19、半径为cm5的圆O中有一点P，OP=4，则过P的最短弦长_________，DCBMAE5BAODC最长弦是__________，20、如图，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半径为____________cm。21、如图，在⊙O中，直径AB和弦CD的长分别为10cm和8cm，则A、B两点到直线CD的距离之和是_____.22、如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE＝2cm，BE＝6cm，∠CEA＝300，求：CD的长；23、某市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图5所示。请你帮他们求出滴水湖的半径。ABC6倍长中线：1．（2011平谷二模）24.已知：如图①，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）2．（2011朝阳一模）25．已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM.（1）如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为；（2）如图②，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.NMDECABMECBADFBADCEG图②DFBACE图③图①图②