不等式型双变量存在性或任意性问题

不等式型双变量存在性或任意性问题1．形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得g(x2)＝f(x1)成立”。此种类型的“等价转化”策略是利用“f(x)的值域是g(x)的值域的子集”来求解参数的取值范围。【典例1】已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x，g(x)＝196x－13，若对任意x1∈[－1,1]，总存在x2∈[0,2]，使得f′(x1)＋2ax1＝g(x2)成立，求实数a的取值范围。【解】由题意知，g(x)在[0,2]上的值域为－13，6，令h(x)＝f′(x)＋2ax＝3x2＋2x－a(a＋2)，则h′(x)＝6x＋2，由h′(x)＝0得x＝－13。当x∈－1，－13时，h′(x)0；当x∈－13，1时，h′(x)0，所以[h(x)]min＝h－13＝－a2－2a－13。又由题意可知，h(x)的值域是－13，6的子集，所以h－1≤6，－a2－2a－13≥－13，h1≤6，解得实数a的取值范围是[－2,0]。2．形如“存在x1∈A及x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)成立”此种类型的“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域的交集不为空集”来求解参数的取值范围。【典例2】已知函数f(x)＝2x3x＋1，x∈12，1，－13x＋16，x∈0，12，函数g(x)＝ksinπx6－2k＋2(k0)，若存在x1∈[0,1]及x2∈[0,1]，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数k的取值范围。【解】由题意，易得函数f(x)的值域为[0,1]，g(x)的值域为2－2k，2－3k2，并且两个值域有公共部分。先求没有公共部分的情况，即2－2k1或2－32k0，解得k12或k43，所以，要使两个值域有公共部分，k的取值范围是12，43。3．形如“对任意x1∈A及x2∈B，都有f(x1)g(x2)成立”此种类型的“等价转化”策略是利用“[f(x)]max[g(x)]min”或分离参数的办法来求解参数的取值范围。【典例3】已知函数f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x3＋5x2＋4x，若对于任意x1∈[－3,3]，x2∈[－3,3]，都有f(x1)≤g(x2)成立，求实数k的取值范围。【解】解法一：因为不等式f(x1)≤g(x2)的左右两端函数的自变量不同，x1与x2在[－3,3]内的取值具有任意性，所以使不等式f(x1)≤g(x2)恒成立的充要条件是[f(x)]max≤[g(x)]min。因为f(x)＝8(x＋1)2－k－8，所以[f(x)]max＝f(3)＝120－k。又因为g′(x)＝6x2＋10x＋4＝(3x＋2)·(2x＋2)，由g′(x)＝0得x＝－23或－1，g(－3)＝－21，g(－1)＝－1，g－23＝－2827，g(3)＝111，所以[g(x)]min＝－21，由120－k≤－21，解得k的取值范围是[141，＋∞)。解法二：令φ(x)＝8x2＋16x，则对于任意x1∈[－3,3]，x2∈[－3,3]，都有φ(x1)－k≤g(x2)成立，故k≥[φ(x)]max－[g(x)]min＝120－(－21)＝141，即k的取值范围是[141，＋∞)。4．形如“存在x1∈A及x2∈B，使f(x1)g(x2)成立”此种类型的“等价转化”策略是利用“[f(x)]min[g(x)]max”或分离参数的办法来求解参数的取值范围。【典例4】已知函数f(x)＝7x2－28x－a，g(x)＝2x3＋4x2－40x，如果存在x1∈[－3,3]，x2∈[－3,3]，使f(x1)≤g(x2)能成立，求实数a的取值范围。【解】解法一：由题意知，[f(x)]min≤[g(x)]max。因为f(x)＝7(x－2)2－a－28，所以[f(x)]min＝f(2)＝－a－28。又因g′(x)＝6x2＋8x－40＝(6x＋20)(x－2)，由g′(x)＝0得x＝2或－103(舍去)，g(－3)＝102，g(2)＝－48，g(3)＝－30，所以[g(x)]max＝102。由－a－28≤102解得a的取值范围是[－130，＋∞)。解法二：令φ(x)＝7x2－28x，存在x1∈[－3,3]，x2∈[－3，3]，使φ(x1)－a≤g(x2)成立，故a≥[φ(x)]min－[g(x)]max＝－28－102＝－130。即a的取值范围是[－130，＋∞)。5．形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f(x1)g(x2)成立”此种类型的“等价转化”策略是利用“[f(x)]max[g(x)]max”或分离参数的办法来求解参数的取值范围。【典例5】已知函数f(x)＝3x＋4x2＋1，g(x)＝6a2x＋aa13，若对任意的x0∈[0，a]，总存在相应的x1∈[0，a]，x2∈[0，a]，使得g(x1)≤f(x0)≤g(x2)成立，求实数a的取值范围。【解】由题意知，f′(x)＝－3x－1x＋3x2＋12。令f′(x)＝0，解得x＝13或－3(舍去)。当x∈0，13时，f′(x)0；当x∈13，a时，f′(x)0，所以[f(x)]max＝f13＝92。又f(0)＝4，f(a)＝3a＋4a2＋1，f(a)－f(0)＝a3－4aa2＋1，所以，当13a34时，[f(x)]min＝f(0)＝4，当a≥34时，[f(x)]min＝f(a)＝3a＋4a2＋1。因为g(x)在[0，a]上单调递减，所以[g(x)]min＝g(a)＝3a，[g(x)]max＝g(0)＝6a。由题意知，只需在区间[0，a]上[f(x)]max≤[g(x)]max，[f(x)]min≥[g(x)]min，即92≤6a，4≥3a，13a34或92≤6a，a≥34，3a＋4a2＋1≥3a，解得a∈∅或34≤a≤1343，故实数a的取值范围是133443，。