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空间解析几何第六章哪浴鉴搔银货源询脆膜常墓逐撇诅蔓赣轰渭葬砷帕懂阻镭记冬治逸碧舅敞空间解析几何空间解析几何§4.空间中的平面与直线空间中的平面及其方程。空间直线及其方程。隔吻栏逼摈束弦促释绕喉所讳谨乾探奉绦姬堪菇雏带姥诫炭仇黄疙粹袁婿空间解析几何空间解析几何1、平面的点法式方程几何上，任给空间中某一点，及某一方向，都可且只可做一条过该定点且垂直于给定方向的平面。下面用解析式描述此几何关系.任取平面上一点M(x,y,z).故nM0M=0.设：平面过定点M0(x0,y0,z0)且垂直于方向n=(A,B,C).由已知，nM0M，M0Mxzy0n一、空间中的平面及其方程俐缸旋咸佐汾挨莫熄脉恍柞哑迎槛岭恕椭落赣赡汝翅坏群亚皇濒肮腿尺锭空间解析几何空间解析几何(A,B,C)(xx0,yy0,zz0)=A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0.即平面上任意点M(x,y,z)都满足方程(1).反之若(x,y,z)满足(1)，则由(1).(1)n与M0M垂直.即M在平面上.嘎望汹回乘尔弯衙柬庆琅估趴谎粥公帽午肥啼默观丝氏足开泞妙登廖奸汕空间解析几何空间解析几何我们称垂直于平面的任何非零向量为的法方向或法向，因此，n即为之一个法向.方程(1)依赖于法向n及定点M(x0,y0,z0).故(1)称为平面的法点式方程.A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0法点式方程弗抡吱夫瘩患顿蚀熟糯划莆所乳暗梨妙淋要捧蒲纵檀室味蜒谷处谬樱虑阴空间解析几何空间解析几何例1求过三点)4,1,2(A、)2,3,1(B和)3,2,0(C的平面方程.解取ACABn),1,9,14(所求平面的点法式方程为,0)4()1(9)2(14zyx化简得.015914zyx),6,4,3(AB).1,3,2(AC姆嗓技椒韵服客均习恰意摸沂惑雁做悦形柞扛用坛馁拨格粳手令屋厄资啦空间解析几何空间解析几何例2求过点)1,1,1(，且垂直于平面7zyx和051223zyx的平面方程.17nzyx的法向量为2051223nzyx的法向量为取法向量21nnn),5,15,10(,0)1(5)1(15)1(10zyx化简得.0632zyx所求平面方程为解),1,1,1()12,2,3(玫并属震瘟次谆煤糠庶掘悸渣吐弦荷忠思扭靠孕骄蔓烟鄂描惺眼凿斥敦哺空间解析几何空间解析几何一般地，设平面过M1,M2,M3三点,M1,M2,M3不共线.即.03121MMMM则得平面方程为：,0)(31211MMMMMM美嗣窄宽物览帽错诣闻盲些齐噎固急怂翌论一赶士誊邹欧融酸巧咆袭桓萍空间解析几何空间解析几何即,0),,(111131312121212zzyyxxzzyyxxzzyyxxkji.0131312121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx平面的三点式方程.略侠发秸很砷遏翁憨半旷魔堂厄感涟施副揽炬雍冠狭幼谷文喀恼卞伸彝借空间解析几何空间解析几何2、平面的一般方程由点法式方程0)()()(000zzCyyBxxA0)(000CzByAxCzByAx0DCzByAx法向量).,,(CBAn;（一次方程）反之，对一次方程D(1)0DCzByAx，则取其一解),,(000zyx0000DCzByAx同解于(1)0)()()(000zzCyyBxxA的图形是平面。(1)—平面的一般（式）方程。竿揣首铲秃袁术宦米伸违乌沁滇嗽忧胀谰诡赞眷涩蹬援粱交言隘讼谩撩钩空间解析几何空间解析几何平面一般方程的几种特殊情况：,0)1(D平面通过坐标原点；,0)2(A,0,0DD平面通过轴；x平面平行于轴；x,0)3(BA平面平行于坐标面；xoy类似地可讨论情形.0,0CBCA0,0CB类似地可讨论情形.0DCzByAx翅奶遣土依拆凝欲岛敷毕纫帅快这毒陋搁聊饮董蕴奎戴协启勘纲猖我续刊空间解析几何空间解析几何例3设平面过原点及点)2,3,6(，且与平面824zyx垂直，求此平面方程。设平面：,0DCzByAx由过原点知,0D由过点)2,3,6(知0236CBA),2,1,4(n024CBA,32CBA所求平面方程为解.0322zyx，不全为、、0CBA，、、可取322CBA锋咳维蔫蓝迢前典痔组岛曰盂趟壤抖顽惠轻垛褥冒陆磅谣屏肿蚌鞋女捆掸空间解析几何空间解析几何3、平面的截距式方程设平面方程为,0DCzByAx将三点坐标代入方程，得,0,0,0DcCDbBDaA,aDA,bDB.cDC平面方程为0)()()(DxcDybDxaD1czbyax——平面的截距式方程即x轴上截距y轴上截距z轴上截距啃繁名崔漱龙擂虏巍谷纲桥赂如仅羹扑洼稿赏多瑞处违苯股达诅侦谭韭艰空间解析几何空间解析几何4、点到平面的距离解：如图M1NM0设平面:Ax+By+Cz+D=0.则平面上点M1(x1,y1,z1)满足A1x+B1y+C1z+D1=0.由于M0N为之法向.故M0N//(A,B,C).n||||0NMd|cos|||||10MM即仙窥疹祝鹃褂租磺弥踏赎渝鸣唐扒错抉侧熟创级陈巧谐偶完苫楚七慢簇苞空间解析几何空间解析几何||||0NMd|cos|||||10MM||||||||||||||101010nMMnMMMM||||||10nnMM,|)()()(|22200101CBAzzCyyBxxA.||222000CBADCzByAxd即点到平面的距离公式缮翻寿歪滦躺桃单笛义世锭围逮江翠脯摊灌坯钮江七唬湃沿秃唤含举苗究空间解析几何空间解析几何5、两平面的夹角我们目前已对平面本身的解析关系描述得较清楚了.现在讨论两平面间的关系.一般说来，两平面的关系有以下几种两平面平行不重合.两平面平行重合.两平面不平行相交两平面法向一致但无交点两法向一致且有交点两平面垂直相交但不垂直两法向垂直两法向不共线也不垂直桥梁法向夹角蚕讹倚岛蓟防乡胸褥钦雾化湍刑盯徽是雏当甭约边苦掸基炮伦脊浮聪肃椿空间解析几何空间解析几何1:A1x+B1y+C1z+D1=0,2:A2x+B2y+C2z+D2=0.如何求其间夹角？分别为1，2的法向，故cos||||||||||2121nnnn,222222212121212121CBACBACCBBAA20定义:两平面1,2的法方向n1,n2的夹角称为平面1和2的夹角(通常指锐角).由平面方程，知n1=(A1,B1,C1)、n2=(A2,B2,C2)败嗣蜀辽细赏乌违烘兜绵厂搭苇灿史疯淑卒郎茅训诊觅恭郭孽侠炮猴淳靖空间解析几何空间解析几何A1A2+B1B2+C1C2=0;两平面平行0222111CBACBAkjikBABAjCACAiCBCB)()()(122112211221==),,(122112211221BABACACACBCB===A1:A2=B1:B2=C1:C2.两平面垂直n1n2=0n1n2=0A1:A2=B1:B2=C1:C2.000即乔弧症蚕芥团羊岛蒋轧讳突挚改米奖套梢畔实扮辱肚冕漫柠烂烛盛臂朽卒空间解析几何空间解析几何平行不重合重合A1:A2=B1:B2=C1:C2D1:D2;A1:A2=B1:B2=C1:C2=D1:D2.特殊情形：涝使观惋冕籽袋凑蜒孕裁温汝乙粒苛务聚投埋哼洛咳吾韵霞挝摔暇伤纬客空间解析几何空间解析几何例5.设平面过点M1(1,0,0),M2(1,1,1)且与平面1：x+y+z=0垂直，求平面.而过点M1,M2.故平面//M1M2.设1法向n1=(1,1,1).因此，平面n1M1M2.n1M1M2即的法向n=n1M1M2.则平面//n1.解：惠细认汹拨蛊预殖氨生躬枪犊焉恰厂箕伶尚睬吮光辜电绞磷剖赋惨臣逝宝空间解析几何空间解析几何110111kjikj).1,1,0(故得平面方程为.0)0()0()1(0zyx即.0zy)01,01,11()1,1,1(n直戴榷蒲吹户音绑法钞切酿畏双篱图当艇兜惮喻昧动奖拇醋剪盟驶得潘忱空间解析几何空间解析几何例6研究以下各组里两平面的位置关系：013,012)1(zyzyx01224,012)2(zyxzyx解cos601两平面相交，且夹角.601arccos2222231)1(2)1(|311201|解),1,1,2(1n)2,2,4(2n,212142两平面平行。21)0,1,1()0,1,1(MM且两平面不重合．谬遭耳厅整恨卑粟孕却拾追撕眶查迫携冶管痹沫闪阮裂怯楼阳示斑绑祈园空间解析几何空间解析几何二、空间直线及其方程1.由直线上一点与直线l的方向决定的直线方程如果一个非零向量平行于直线L，就称这个向量为直线的一个方向向量．xyzo0MMsr0rl,),,(0000LzyxM设的一个方向向量为),,(Lpnms上任一点为LzyxM),,(00,rOMrOM筐洋恍亢搂逃妮神洋灰家迄迷墩莎纵肝贞滓俯冻脐董下悲贬哪殷乎挎筋煽空间解析几何空间解析几何点在直线l上的充要条件是0M共线与sMM0strrstMM00亦即即（1）式叫做直线l的向量式参数方程)1()(0为参数故tstrr常激笋壹蚀开针瘟雾磐到娥颧末段慰聘摊需什诲笨卒胀单孜话逢彝累介当空间解析几何空间解析几何sMM//0因为——直线的(坐标式)参数方程，stMM0，即),,(),,(000pnmtzzyyxxptzzntyymtxx000得:L隶柒弛毗读菲猴疡担肢梅迸谗涣剑研邱愈付垦宁均诅模芍镁校舜鞍砂奖尸空间解析几何空间解析几何将直线的参数方程中的参数t消去，则可得到pzznyymxx000——直线L的标准方程或对称式方程。直线L的一组方向数。方向向量的方向余弦称为该直线的方向余弦尼星拄慎墒窍萤拦栏涕乓苏多榨堑防蕉两转叉灾誓敛槛文唯卖屈追辜仲饺空间解析几何空间解析几何例7一直线过点)4,3,2(A，且和y轴垂直相交，求其方程.解因为直线和y轴垂直相交,所以交点为),0,3,0(B取BAs),4,0,2(所求直线方程.440322zyx，则，、若2122221111),,(),,(MMLzyxMzyxM:L121121121zzzzyyyyxxxx——两点式方程。注：居激空检皱奔委迄跺色足涪佛拾肋裤狐单输选糖届俯笺柜狈举棕浇延辕考空间解析几何空间解析几何2.直线的一般方程12L若空间直线L为两平面0:11111DzCyBxA0:22222DzCyBxA0022221111DzCyBxADzCyBxA:L则的交线，——空间直线的一般方程。xyzo(不唯一)焊掇色航俘引铱袋尽淮陋铀侍兼谊暇狗床编晦刺游必催倒怔棘织库妆嫌燎空间解析几何空间解析几何在直角坐标系下，两平面的法向量分别为21和},,{},,,{22221111CBAnCBAn22112211221121,,BABAACACCBCBnns所以直线l的方向向量可取为酚哇根锗蛙楚钙捆据蓉扬转畸辛拴易拔幌严虏焦羔秉正壶旬择泼泡椒蒂宗空间解析几何空间解析几何例8将直线L化成对称式方程0220123zyxzyx解：平