数学建模-投资最优问题

数学建模一周论文课程设计题目：最优投资方案姓名1：吴深深学号：201420181013姓名2：许家幸学号：201420180422姓名3：王鑫学号：201420181220专业软件工程班级1421801Z指导教师朱琳2016年6月9日摘要本文主要研究银行投资受益最优问题，根据投资证券的种类、信用等级、到期年限、到期税前收益等的具体情况，根据线性规划的方法分析出数学模型，并且运用Lingo软件进行编码求解。根据问题一、根据此模型能够得到具体的解决方案，问题二、三都是根据问题一的模型做具体约束条件的变化，从而求出最优解。此模型适用于一般简单的银行投资问题。这个优化问题的目标是有价证券回收的利息为最高,要做的决策是投资计划。即应购买的各种证券的数量的分配。综合考虑：特定证券购买、资金限制、平均信用等级、平均年限这些条件，按照题目所求，将决策变量、决策目标和约束条件构成的优化模型求解问题便得以解决。但是本模型不适合解决情况过于复杂的银行投资问题。关键字：最优投资线性规划Lingo求解一、问题重述某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元，所购证券的平均信用等级不超过1.4（数字越小，信用程度越高），所购证券的平均到期年限不超过5年。证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益/%A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5二、模型假设假设:1.假设银行有能力实现5种证券仸意投资；2.假设在投资过程中，不会出现意外情况，以至不能正常投资；3.假设各种投资的方案是确定的；4.假设证券种类是固定不变的，并且银行只能在这几种证券中投资；5.假设各种证券的信用等级、到期年限、到期税前收益是固定不变的；6.假设各种证券是一直存在的。三、符号约定符号含义iXi取1-5，表示从A..E中证券的投资额（百万）cii取1-5，表示从A..E中证券的平均信用等级dii取1-5，表示从A..E中证券的到期时间ibi取1-5，表示从A..E中证券的税前收益率四、问题分析综合分析：这个优化问题的目标是有价证券回收的利息为最高,要做的决策是投资计划。即应购买的各种证券的数量的分配。综合考虑：特定证券购买、资金限制、平均信用等级、平均年限这些条件，按照题目所求，将决策变量、决策目标和约束条件构成的优化模型求解问题便得以解决。政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元，所购证券的平均信用等级不超过1.4（数字越小，信用程度越高），所购证券的平均到期年限不超过5年。问题一:若该经理有1000万元资金，应如何投资?针对这个问题，只需要限制投资综合小于等于1000即可。问题二：如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？针对这个问题，我们在问题一的基础上把金额增加100万，再考虑贷款利率和证券到期年限时间问题更改目标函数即可。问题三：在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？此问题树模型数据的更改，不用更改模型，直接更换数据重新求解即可。五、模型的建立根据问题的综合分析设iX(i=1…5)表示从A..E中证券的投资额（百万），ic(i=1…5)表示从A..E中证券的平均信用等级，id(i=1…5)表示从A..E中证券的到期时间，ib(i=1…5)表示从A..E中证券的税前收益率。所以，在iX0的情况下，政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元的约束是2X+3X+4X≥4；所购证券的平均信用等级不超过1.4（数字越小，信用程度越高）的约束是5ii5iiX1.4Xic既是55iiiiX1.4Xic；所购证券的平均到期年限不超过5年的约束是5ii5iiXd5Xi既是55iiiiXd5Xi；而整个问题就是求5i223344iX0.5(Xb+Xb+Xb)ib的最大值。问题一：若该经理有1000万元资金，增加约束条件5iiX10即可，最终模型的确立为：5i223344i2345ii5i55iii5iiii5i55iii5iiiiimaxX0.5(Xb+Xb+Xb)XXX4,X10,Xd.5Xd5XXX1.4X1.4XXX0iiiiibstcc目标函数：=或者，或者问题二：受益增加100万元，把问题的一的约束条件换为5iiX11即可。最终模型的确立为：5i223344i2345ii5i55iii5iiii5i55iii5iiiiimaxX0.5(Xb+Xb+Xb)XXX4,X11,Xd.5Xd5XXX1.4X1.4XXX0iiiiibstcc目标函数：=或者，或者问题三:目标函数的系数和个别约束条件的系数发生改变，不必改变模型，模型与问题一一致。六、模型求解6.1代码求解问题一：根据上述模型，用Lingo编辑代码如下：model:Title投资最优问题LINGO模型;SETS:SITE/1..5/:credit,deadline,benifit,X;!credit表示信用等级;!deadline期限;!benifit受益率;!X表示投资;ENDSETSDATA:credit=22115;deadline=915432;benifit=0.0430.0540.0500.0440.045;ENDDATAmax=@SUM(SITE:X*benifit)0.5*(X(2)*benifit(2)+X(3)*benifit(3)+X(4)*benifit(4));!目标函数;X(2)+X(3)+X(4)4;@SUM(SITE:X)10;@SUM(SITE:X)*1.4@SUM(SITE:X*credit);@SUM(SITE:X)*5@SUM(SITE:X*deadline);@for(SITE:X0);end问题二、三模型类似，只需要在代码中更改约束条件相关参数，更改数据域中的数据即可。6.2具体的方案问题一：Lingo求解结果为：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:0.2983636Infeasibilities:0.000000Totalsolveriterations:3ModelTitle:投资最优问题LINGO模型VariableValueReducedCostX(1)2.1818180.000000X(2)0.0000000.3018182E-01X(3)7.3636360.000000X(4)0.0000000.6363636E-03X(5)0.45454550.000000RowSlackorSurplusDualPrice10.29836361.00000023.3636360.00000030.0000000.2983636E-0140.000000-0.6181818E-0250.000000-0.2363636E-0262.1818180.00000070.0000000.00000087.3636360.00000090.0000000.000000100.45454550.000000即证券A，C，E分别投资2.182百万元，7.364百万元，0.454百万元，最大税后收益为0.298百万元。问题二：Lingo的求解结果为证券A、C、E分别投资2.4百万元，8.1百万元，0.5百万元，最大税后收益为0.298百万元。问题三：由问题一的结果中目标函数的取值范围（最优值不变）可知，证券A受益可增加0.35%，故证券A的税前收益增加4.5%，投资不应该改变；证券C的税前收益可减0.112%（注意按50%的纳税率），故若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应该改变。七、模型的评价兼于银行投资问题对银行的重要性，本题中我建立了相应的投资决策最优化模型，为银行在投资过程的决策提供了参考，我的模型有以下优点：对问题一，兼于银行的1000万有不同的投资方法，我建立了线性规划模型，在建模的过程中，充分考虑了投资的情况，使约束变的清晰，使题目更加完整。对于问题二，我根据银行可能借到的和银行本身有的钱，制定了算法，充分利用银行所借的钱来获得更大的收益，利用那些限制条件，建立了数学模型。本模型具有很强的参考价值。对于问题三，于银行的1000万有不同的投资方法，我建立了线性规划模型，在建模的过程中，充分考虑了投资的情况，使约束变的清晰，使题目更加完整以确定银行是否改变投资方案。本模型具有很强的参考价值。八、模型的改进与推广本文建立了一个线性规划模型，运用这相模型，我们可以解决很多的实际问题，例如在国民生产中的材料分配问题，在出口贸易中经常遇到配额的问题，我们可以根据这个模型确立一个最佳的配额分配方案。九、结论分析由以上的结果中目标系数的允许范围可知,证券A的税前收益可增加0.35%，故证券A的税前收益增加4.5%，投资不应改变；证券C的税前收益了减0.112%（按50%纳税），故证券C的税前收益可减4.8%，故投资应改变。附一：参考文献：[1]姜启源谢金星《数学建模案例选集》，高等教育出版社，2006[2]董瑧圃《数学建模方法与实践》，国防工业出版社，2006[3]陈伟忠《组合投资与投资基金管理》，中国金融出版社，2004[4]王五英，《投资项目社会评价方法》，经济管理出版社，1993.8[5]姜启源《数学模型》高等教育出版社[6]萧树铁《大学数学实验》高等教育出版社附二：问题二的Lingo求解结果Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:0.3007000Infeasibilities:0.000000Totalsolveriterations:3ModelTitle:投资最优问题LINGO模型X(1)2.4000000.000000X(2)0.0000000.3018182E-01X(3)8.1000000.000000X(4)0.0000000.6363636E-03X(5)0.50000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice10.32820001.00000024.1000000.00000030.0000000.2983636E-0140.000000-0.6181818E-0250.000000-0.2363636E-0262.4000000.00000070.0000000.00000088.1000000.00000090.0000000.000000100.50000000.000000东华理工大学课程设计评分表学生姓名：吴深深、许家幸、王鑫（男）班级：1421801Z学号：201420181013、201420180422、201420181220课程设计题目：项目内容满分实评选题能结合所学课程知识、有一定的能力训练。符合选题要求（3人一题）5工作量适中，难易度合理10能力水平能熟练应用所学知识，有一定查阅文献及运用文献资料能力10理论依据充分，数据准确，公式推导正确10能应用计算机软件进行编程、资料搜集录入、加工、排版、制图等10能体现创造性思维，或有独特见解15成果质量模型正确、合理，各项技术指标符合要求。15摘要叙述简练完整，假设合理、问题分析正确、数学用语准确、结论严谨合理；问题处理科学、条理分明、语言流畅、结构严谨、版面清晰15论文主要部分齐全、合理，符号统一、编号齐全。格式、绘图、表格、插图等规范准确，符合论文要求10字数不少于2000字，不超过15000字5总分100指导教师评语：指导教师签名：年月日