数学建模-DVD租赁在线租赁问题

DVD租赁问题摘要我们通过分析题目可知，在租赁过程中，网络经营者主要关注DVD的购买和分配。根据题目所提出的要求，本文针对在线DVD租赁问题中的订购、分配等问题进行了研究，建立了DVD的购买和分配0-1规划模型，给出了该问题的优化方案。问题一：通过对调查问卷的整理分析，我们得到了1000个会员对于其中5种DVD愿意观看的频数。因此我们认为愿意观看各种DVD的人数服从二项分布，从而计算出在多种可靠度下应该购买DVD的数量，见表一。表一：（在多种可靠度下应该购买DVD的数量）：可靠度DVD1DVD2DVD3DVD4DVD580%70383529177189036099%710435781807916375问题二：题目要求如何进行分配，使会员获得最大满意度。所以我们以会员的标准最大满意度1000110011000116ijijijbx为目标函数，建立一个0—1规划模型，得到分配方案，并使用软件LINGO编程求解。得到最大满意度89.13%，和前30位会员的分配方案（见表五）。问题三：我们以会员的最大满意度和网站的最小购买量建立双目标函数。考虑到60%的会员在一个月内由于两次租赁，而致使一部分DVD可被重复利用，因而，我们采用了分两个阶段购买的方案，在每个购买阶段都建立了双目标整数规划模型，利用lingo求得应购买3066张。从而使实际购买量比网站原来的拥有量小，并且使会员的满意度达到了99.38%。问题四：我们对新出的DVD进行市场需求预测；利用市场预测选取购买方案，最后按会员在线的订单进行合理分配。在这个过程中，我们追求获得最大收益。因而一方面减少购买DVD所需的成本，另一方面最大化满足各会员的需求。关键词：二项分布、0-1规划、双目标规划、满意度一、问题重述许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核，为顾客提供更为周到的服务。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数。此外，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员分别获得哪些DVD。3）假设表2中DVD的现有数量全部为0。经营管理人员应如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。二、模型假设1、忽略DVD租赁过程中的磨损；2、假设以一个月为一个周期，考虑在一个周期内DVD的租赁情况；3、假设一个会员在一个月内租赁到想看的DVD的时间不影响其满意度；4、假设会员只有将第一次租赁的DVD返还网站才能进行第二次租赁；5、假设一个周期结束，所有的DVD全部归还网站，不影响下一个周期的租赁；6、假设每一个会员同一种DVD只租赁一次。三、符号说明jn：购买j种DVD光盘的数量jp：租赁j种DVD光盘的频率ijx：第i人是否租赁j种DVD光盘bij：第i人是否租赁到j种DVD光盘的满意度ij：第i人对j种光碟的偏爱程度四、问题分析题目中主要研究的是：网站对DVD的购买和分配问题，因此我们通过预测，建立模型，最后求解可以帮助网站进行合理购买以及对DVD的分配方案。使得会员得到最大的满意度。问题一：该网站会员中至少50%的人在一个月内能够看到该DVD，为了尽可能使商家购入少的DVD以满足需求，本文先假设在一个周期内网站内的会员对光碟都进行一次性租赁，根据可靠度的不同，求出各个可靠度下的结果。然后再根据有60%的会员每月租赁DVD两次，将所得结果按一定比例减小。问题二：这是一个最优分配的问题。根据各个会员的偏爱程度不同，网站对DVD进行分配，建立以满意度为目标的函数，在DVD数量一定的前提下，使其合理的分配，使目标函数达到最大值。问题三：问题三是一个多目标函数，有两个目标：要有95%的会员得到他想看的DVD；满意度要达到最大。我们以会员的最大满意度和网站的最小购买量建立双目标函数。同样利用软件LINGO进行求解。问题四：题目要求我们自己提出问题并给与解答。所以我们关注对新出DVD的购买与分配。五、模型建立与求解问题一：针对问题一我们建立如下模型并求解。通过题目中的表二我们可以都得到会员租赁5种DVD的概率。表二（对1000个会员的调查结果）：DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意观看的人数200100502510第i张DVD被租赁的概率ip2.01.005.0025.001.0对于每张DVD来说只有租赁与不租赁两种情况，所以服从两点分布。设随机变量，种个会员不租赁第表示第种个会员租赁第表示第DVD0DVD,1jijiij其中i=1,2,…,100000,显然随机变量ij服从两点分布，即jijpp}1{,jijpp1}0{，其中jp通过上表一得到。设随机变量,5....,2,1,000,1001jiijj即j表示100000个会员中租赁第i张DVD的总数，由于会员之间是否租赁该张DVD是相互独立的，因而),,000,100(~jjpB如果网站准备了)%50(jE张DVD是有数的，则满足至少50%的会员看到该DVD的概率是)%50()%50()%50()%50()%50(%50)%50(%50jjjjjjjjDEEDEPEP=2100)%50()%50(%50jjjDEP其中约等式是由中心极限定理得到。为了提高至少满足50%的人看到该片的可靠度（即概率），我们需要改变提供的数量。设可以保证至少50%的人看到该片的可靠度为99%，即%99)(t，由此可以得到t=2.33,则)1.(000,1033.2000,50)%50(33.2)%50(%50jjjjjjpppDE同时，由于60%的会员每个月会租赁DVD两次，40%的会员每个月会租赁DVD一次，所以租赁两次的会员会将第一次租赁的DVD归还，这样就可以满足其他会员租赁的要求，但是因为该张DVD是被会员第一次租赁，还是被会员第二次租赁的情况是随机的。我们假设这两种情况是等可能的，所以该张DVD被再次利用的期望值为：%30021%6021由此我们可以得出：只需要准备所需量的70%就可以满足题目中的要求。综上所述，我们以99%的可靠度满足可少50%的租赁会员能够看到某种DVD所需要准备的该种DVD的数量为：)1(000,1002133.2000,50%70jjjppp代入相关数据，我们可以得到保证至少50%的人在一个月内看到该种DVD，网站需要准备该DVD的张数。我们还计算了在可靠度为50%的情况下，网站需要准备DVD的张数。共同结果如下表三。表三（50%以上会员三个月内看到DVD情况下需要准备的数量）：可靠度DVD1DVD2DVD3DVD4DVD550%70003500175087535099%710435781807916375为了保证在三个月内使得95%的会员看到其所想要租赁的DVD，只需要提供一个月内使得95%的会员看到其想要租赁的DVD的总量的31，因为每个月为一个周期，所以3个月内DVD的流通量相当于一个月内DVD流通了三个周期的量。因而以99%的可靠度使得三个月内95%的会员看得到该DVD，网站应准备的张数为)1(000,10095.033.2%95000,100%7031jjjppp带入相关数据，可以得到保证这少95%的会员三个月内看到该DVD，网站需要准备该DVD的张数。同样我们还计算了在可靠度为50%的情况下，网站需要准备DVD的张数。共同结果如下表四。表四（95%以上会员三个月内看到DVD情况下需要准备的数量）：可靠度DVD1DVD2DVD3DVD4DVD550%44342217110955522299%449922661144580238问题二：本问题要求如何把网站手上现有的100张DVD，和在线的1000为会员的需求进行合理的分配，以达到每位会员的最大满意度。因为我们要求的是最优化问题所以我们使用LINGO，通过分析我们建立如下模型：设：则对会员的分配矩阵为，种个会员没有分到第表示第，种个会员分到了第表示第DVD0DVD1jijixij100021100,1000100,2100,12,10002,22,11,10001,21,1XXXxxxxxxxxxX其中iX为一维行向量，表示对第i个会员的DVD的分配情况。设ija表示第i个会员对第j张DVD的偏爱程度，由于ija的数字越大，表示其偏爱程度越小，同时会员得到该DVD的满意度越小，因而我们定义第i个会员分配到第j张DVD的满意度为ijb则0,00,1ijijijijaaab则会员的满意度矩阵为100021100,1000100,2100,12,10002,22,11,10001,21,1BBBbbbbbbbbbB其中iB为一维行向量，表示第i个会员分配到各类DVD的满意度。因而，第i个会员对该方案的满意度为：ijjijTiibxBX1001当第i个会员得到其偏爱度为1，2，3，的三张DVD时，他是最满意的，其满意度为21161131，由此可以得到第i个会员的标准化满意度为：.1000,...,2,1,11661161110011001ibxbxBXjijijjijijTii为了会员获得最大的满意度，可以是他们的满意度和达到最大，由此得到目标函数为：max1001100011000116jijijibx在分配的过程中，每种DVD分配给会员的总数不超过网站准备的总数，即100,...,2,1,10001jnxijij再一次分配中，每个会员获得3张DVD；如果不够3张就视为分给该会员0张DVD，即:100011000,...,2,1,30iijix综合上述分析，可以得到该问题的模型为max1001100011000116jijijibx..ts..100,...,2,1,1000,...,2,1101000,...,2,1,30100,...,2,1,1000110001jxixjnxijiijijij或根据上述模型，我们使用LINGO软件进行求解（附录1），结果如下：目标函数的最大值为89.13%;会员所得光盘的张数和相对应的人数，以及比率见表五。表五（问题二结果）：会员所得光盘的张数0123人数0654940比率0%0.60%5.40%94%前30位会