IIR数字滤波器设计

第6章IIR数字滤波器设计6.1数字滤波类型与指标6.2模拟滤波器设计6.3设计IIR滤波器的脉冲响应不变法6.4设计IIR滤波器的双线性变换法6.5设计IIR数字滤波器频率变换法6.6IIR数字滤波器的计算机辅助设计第6章IIR数字滤波器设计滤波的目的为了压制输入信号的某些频率成分，从而改变信号频谱中各频率分量的相对比例广义滤波包括对信号的检测与参量的估计信号的检测:确定在干扰背景中信号是否存在信号参量的估计:为识别信号而确定信号的某一个或某几个参量的估值6.1数字滤波类型与指标滤波技术包括:滤波器设计:根据给定滤波器的频率特性，求得满足该特性的传输函数，滤波过程的实现：获得传输函数后，以何种方式达到对输入信号的进行滤波的目的1.数字滤波器的频率特性数字滤波器具有某种特定频率特性的线性时不变系统广义上，任何线性时不变离散系统都是一个数字滤波器设计数字滤波器的任务寻求一个因果稳定的线性时不变系统，使其系统函数H(z)具有指定的频率特性0)()()(nnjezjenhzHeHj0)()()(nnjezjenhzHeHj对因果稳定的线性时不变系统：)(jeH:滤波器的传输函数H(z):系统函数h(n):滤波器的单位脉冲响应)()()(jjeHeH)]([Im)]([Re)(22jjeHeHH)](Re[)](Im[)(jjeHeHarctg)(H：幅度响应)(：相位响应DF按频率特性分类可分为低通、高通、带通、带阻和全通特点为数字频率以周期2频率特性只限于范围，依取样定理，对应于实际模拟抽样频率的一半)(sfT•频率变量以数字频率表示其中模拟角频率，T抽样时间间隔，fs抽样频率理想滤波器的频率响应0sp1p：通带波纹s：阻带波纹：过渡带：通带截止频率p：阻带截止频率sDF的性能要求（低通为例）1p1psps)(jeH从信号不失真角度讲通常要求相位线性)(为时延常数–具有群恒时延特性常数)()(dd)(相位响应2．IIR和FIR数字滤波器IIR滤波器的系统函数通常可表示成的有理分式FIR滤波器的系统函数则可表示为的多项式设计过程一般包括以下三个基本问题：根据实际要求确定滤波器性能指标；用一个因果稳定的系统函数去逼近这个指标；用一个有限精度的运算去实现这个传输函数问题1、3与实际的要求及实现的硬件条件有关本章主要讨论问题2，即系统函数的设计(或逼近)问题。3．设计IIR滤波器的几种方法IIR数字滤波器的系统函数可表示为的有理分式11101)(zazbzHkNkkNk•设计IIR滤波器的系统函数，就是要确定H(z)的阶数N（通常称N为滤波器的阶数）以及分子分母多项式的系数jezjkkzHeHba)()(，使其、满足指定的频率特性(1)利用模拟滤波器的理论来设计模拟滤波器研究较早，理论已经十分成熟，有许多简单而严谨的设计公式和大量的图表可以利用，利用这些现有技术来解决数字滤波器的设计问题采用这种方法时，要先要设计一个合适的模拟滤波器，然后将它转换成满足给定指标的数字滤波器这种方法适合于设计幅频特性比较规则的滤波器，例如低通、高通、带通、带阻等当把模拟滤波器的H(s)转换成数字滤波器的H(z)时，要实现S平面向Z平面的映射，必须满足两个条件必须保证模拟频率映射为数字频率，且保证两者的频率特性基本一致要求变换后代表S平面的虚轴jΩ应映射到Z平面的单位圆且数字滤波器的频率响应和模拟滤波器频率响应的形状应基本保持不变；因果稳定的模拟滤波器系统函数H(s)转换成数字滤波器传输函数H(z)后，仍然是因果稳定的要求S平面左半平面的极点必须映射到Z平面的单位圆内两种常用的方法脉冲响应不变法：从时域的角度出发进行映射双线性不变法：从频域角度出发进行映射(2)利用最优化技术进行CAD设计若需设计滤波器的幅频特性是任意的或者形状比较复杂，可采用计算机辅助设计(CAD)方法进行优化设计设计思想)(jdeH希望滤波器的幅频响应：)(jeH设计滤波器的幅频响应：•选择一种最优化的准则，例如采用最小均方误差准则)()(jjdeHeH、设在指定的一组离散的频率点Mii,,2,1},{的均方误差221[()()]iiMjjdiHeHe•求解H(z)的系数，、kkba使均方误差最小•当滤波器阶数N较高时，转换为一个多变量最优化问题，需要大量的迭代运算，因此必须采用CAD的方法。6.2模拟滤波器设计IIR滤波器的设计是基于模拟滤波器的成熟技术而完成的简单介绍模拟滤波器设计的一些基本概念，并介绍两种常用的滤波器的设计方法：巴特沃思(Butterworth)滤波器切比雪夫(Chebyshev)滤波器6．2．1模拟滤波器设计的基本概念1.模拟滤波器的频率特性与衰减特性滤波器的频率特性主要取决于构成滤波器系统的系统函数jssHjH|)()(工程设计中给定的指标往往是通带和阻带的衰减，它一般用反映功率增益的幅度平方函数或称模方函数来定义dBjHjHA|)(|lg20|)(|lg10)(2当要求滤波器具有线性相位特性（延时τ为常数）时滤波器的频率特性为HjHjej()|()|())(，2.归一化与频率变换采用归一化参数设计结果具有普遍性计算方便归一化包含：电路参数归一化：将系统中无源元件的阻抗或运算阻抗分别除以基准电阻(系统的负载电阻值)。频率归一化：将所有的频率都除以基准频率（滤波器的截止频率）计算实际电路参数时应要将归一化频率乘以截止频率，进行反归一化频率变换：从归一化低通原型滤波器到高通、带通、带阻等其它类型的滤波器的变换方法3.从模方函数求模拟滤波器的系统函数H(s)当不含有源器件，作为一个因果稳定、物理可实现的系统函数必须满足的条件|()|Hj2a、是一个具有实系数的s有理函数)(/)()(sDsNsHb、所有极点必须全部分布在s的左半平面内c、分子多项式式N(s)的阶次必须小于或等于分母多项式D(s)的阶次——正实函数实函数的傅立叶变换存在共轭对称的性质HjHj*()())()(|)(|2jHjHjH)()(sHsHjs|()|()*()()()HjHjHjHjHj2有得平面的虚轴，解析延拓代表sj从给定的模方函数求出所需要的系统函数的方法a、解析延拓,令s=代入模方函数得到,并求其零极点jHsHs()()b、取所有在左半平面的极点作为的极点)(sHHsHs()()c、按需要的相位条件(最小相位,混合相位等)取一半的零点构成的零点)(sHHsHs()()4．模拟滤波器的设计-逼近问题pAsA：通带衰减：阻带衰减,：与通带衰减、阻带衰减有关的系数：通带截止频率：阻带截止频率ps寻找一个恰当的近似函数来逼近理想特性——所谓逼近问题最常用的具有优良性能的滤波器：巴特沃思(Butterworth)滤波器切比雪夫(Chebyshev)滤波器椭圆(elliptic)函数或考尔（Cauer）滤波器实现线性相位的贝塞尔滤波器2110log()1pA2110log()1sA之间的关系、与sPAA,6．2．2巴特沃思Butterworth低通滤波器1．基本性质BW滤波器以巴特沃思函数来近似滤波器的系统函数BW的低通模平方函数表示,,2,1)/(11|)(|22NjjjHNc指定、后，带到上式，得pApp0.122211|()|101(/)1pApNpcHj10101.Ap13＝时，＝当dBAp指定、后，带到上式，得sAss0.122211|()|101(/)1sAsNscHj10101.As用3dB截止频率来规一化：对频率进行，下式变为c/c,,2,1)/(11|)(|22NjjjHNc|()|()HjN2211讨论：|()|()HjN2211当=0时，=1,取最大值|()|Hj2当时，=0.5,取3dB值)(1c|()|Hj21)(/,1/22接近时，很小，通带jHNNcc0)(/,1/22接近时，很大，通带jHNNcc阻带内，由于|()|()HjjjcN221或AHjNjjsc10202lg|()|lg()幅度随着N的增加阻带衰减近似为6Ndb/倍频程。N越大，频带特性越接近理想矩形特性|()|()HjN2211上式的台劳级数展开为：NNjH4221|)(|12,,2,1,0|)(|02NkjHddk=0处函数对2N—l阶导数都等于零——曲线在=0附近是最“平坦”,——巴特沃思滤波器又叫做“最大平坦滤波器”归一化巴特沃思低通滤波器的幅度特性2．设计过程(a)按给定指标确定阶次N222)(Nps)/lg()]110/()110lg[(21)/lg()/lg(1.01.0psAApspsN)/lg()110lg()/lg()lg()/lg()/lg(1.0csAcscssN实际计算时，要对上式求得的数值取整加1。若给定的指标=3dB,即通带边频时,ε=1,可求得cppA(b)从模方函数求系统函数H(s)①求得极点,,2,1)/(11|)(|22NjjjHNc带入上式，得：js0)(12Ncjs)12()1(kje由于NkesNNkjck2,,2,12/)12(分析讨论c在归一化频率的情况=1，极点均匀分布在单位圆上NkesNNkjk2,,2,12/)12(对于物理可实现系统,它的所有极点均应在s的左半平面上②系统函数的构成滤波器的极点求出后，可取左平面上的所有极点构成系统函数)(1)(1iNissAsH对于低通滤波器，为了保证在频率零点=0处，=1，可取|)(|jHNiiNsA1)1()()1()(1iiNiNssssH因此得例6-2-1举例说明系统函数的构成设计一巴特沃思滤波器，使其满足以下指标:通带边频=100krad/s,通带的最大衰减为=3dB，阻带边频为=400krad/s,阻带的最小衰减为=35dBpApsAs解:由于通带边频就是3dB截止频率，即cp11101.0pA2.561101.0sA确定阶次N，9.24lg2.56lg)/lg()/lg(csN3N取求左半平面的极点:sekkcjkNN()/,,212123,3/21jces,2jcessecj323/得极点：构成巴特沃思滤波器传输函数H(s)为Hssssssssssssscccc()()()()1231233322322相对截止频率归一化，得归一化巴特沃思滤波器传输函数cHsa()Hssssa()122132③一般N阶归一化巴特沃思滤波器传输函数表示HsssasasassaiNiNNN()()111112211是=1时的极点，分布在单位圆上sic分母一般称为巴特沃思多项式，其系数可通过查表求得,见表5-2-1表6-2-1巴特沃思多项式系数Na1a2a3a4a5a6a7a8a921.414232.00002.000042.61313.41422.613153.23615.23615.23613.236163.86377.46419.14167.46413.863774.494010.09714.59214.59210.0974.494085.152813.13721.84625.6