2014版《创新方案》高中数学人教版A版选修4-5教学课件：第四讲-二--用数学归纳法证明不等式

返回返回返回返回1．利用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学归纳法是常用的方法之一．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如、、、等结合进行．比较法分析法综合法放缩法返回2．归纳—猜想—证明的思想方法数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在“归纳—猜想—证明”这一基本思想方法中．一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用证明其正确性，形成“观察—归纳—猜想—证明”的思想方法．数学归纳法返回返回[例1]证明：2n＋2n2，n∈N＋.[证明](1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边右边；当n＝2时，左＝22＋2＝6，右＝22＝4，所以左边右边；当n＝3时，左＝23＋2＝10，右＝32＝9，所以左边右边．因此当n＝1,2,3时，不等式成立．[思路点拨]验证n＝1，2，3时，不等式成立―→假设n＝k成立，推证n＝k＋1―→n＝k＋1成立，结论得证返回(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立．当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－22k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因k≥3，则k－3≥0，k＋10)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.所以2k＋1＋2(k＋1)2.故当n＝k＋1时，原不等式也成立．根据(1)(2)，原不等式对于任何n∈N都成立．返回利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形．为满足题目的要求，常常要采用“凑”的手段，一是凑出假设的形式，便于用假设；二是凑出结论的形式，再证明．返回1．用数学归纳法证明：1n＋1＋1n＋2＋…＋13n56(n≥2，n∈N＋)证明：(1)当n＝2时，左边＝13＋14＋15＋1656，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，不等式成立．即1k＋1＋1k＋2＋…＋13k56.当n＝k＋1时，返回1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋13k＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋156＋(13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋1)56＋(3×13k＋3－1k＋1)＝56.∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立．返回2．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n22－1n(n≥2，n∈N＋)．证明：(1)当n＝2时，1＋122＝542－12＝32，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，即1＋122＋132＋…＋1k22－1k，当n＝k＋1时，1＋122＋132＋…＋1k2＋1k＋122－1k＋1k＋122－1k＋1kk＋1＝2－1k＋1k－1k＋1＝2－1k＋1，不等式成立．由(1)、(2)知原不等式在n≥2，n∈N＋时均成立．返回3．设Pn＝(1＋x)n，Qn＝1＋nx＋nn－12x2，n∈N＋，x∈(－1，＋∞)，试比较Pn与Qn的大小，并加以证明．解：(1)当n＝1,2时，Pn＝Qn.(2)当n≥3时，(以下再对x进行分类)．①若x∈(0，＋∞)，显然有PnQn.②若x＝0，则Pn＝Qn.③若x∈(－1,0)，则P3－Q3＝x30，所以P3Q3.P4－Q4＝4x3＋x4＝x3(4＋x)0，所以P4Q4.返回假设PkQk(k≥3)，则Pk＋1＝(1＋x)Pk(1＋x)Qk＝Qk＋xQk＝1＋kx＋kk－1x22＋x＋kx2＋kk－1x32＝1＋(k＋1)x＋kk＋12x2＋kk－12x3＝Qk＋1＋kk－12x3Qk＋1，即当n＝k＋1时，不等式成立．所以当n≥3，且x∈(－1,0)时，PnQn.返回[例2]设f(n)0(n∈N＋)，对任意自然数n1和n2总有f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)，又f(2)＝4.(1)求f(1)，f(3)的值．(2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想．[思路点拨]利用f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)可求出f(1)，f(3)再猜想f(n)，利用数学归纳法给出证明．返回[解](1)由于对任意自然数n1和n2，总有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)．取n1＝n2＝1，得f(2)＝f(1)·f(1)，即f2(1)＝4.∵f(n)0(n∈N＋)，∴f(1)＝2.取n1＝1，n2＝2，得f(3)＝23.(2)由f(1)＝21，f(2)＝4＝22，f(3)＝23，猜想f(n)＝2n.证明：①当n＝1时f(1)＝2成立；②假设n＝k时，f(k)＝2k成立．f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k＋1，这就是说当n＝k＋1时，猜想也成立．由①②知猜想正确，即f(n)＝2n.返回利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察——归纳——猜想——证明．即先通过观察部分项的特点．进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明．返回4．在数列{an}、{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an、bn、an＋1成等差数列，bn、an＋1、bn＋1成等比数列(n∈N＋)．(1)求a2、a3、a4及b2、b3、b4的值，由此猜测{an}、{bn}的通项公式；(2)证明你的结论．解：(1)由条件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1.由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.返回(2)用数学归纳法证明：①当n＝1时，由上知结论成立．②假设当n＝k时，结论成立．即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)．bk＋1＝＝(k＋2)2.所以当n＝k＋1时，结论也成立．由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．a2k＋1bk返回5．若不等式1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋13n＋1a24对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．解：取n＝1，11＋1＋11＋2＋13×1＋1＝2624，令2624a24⇒a26，而a∈N＋，∴取a＝25.下面用数学归纳法证明：1n＋1＋1n＋2＋…＋13n＋12524.(1)n＝1时，已证结论正确．返回(2)假设n＝k(k∈N＋)时，1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋12524，则当n＝k＋1时，有1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋1＋1＝(1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋1)＋(13k＋2＋13k＋3＋13k＋4－1k＋1)2524＋[13k＋2＋13k＋4－23k＋1]．返回∵13k＋2＋13k＋4＝6k＋19k2＋18k＋86k＋19k＋12＝23k＋1∴13k＋2＋13k＋4－23k＋10.∴1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋13k＋1＋12524.即n＝k＋1时，结论也成立．由(1)、(2)可知，对一切n∈N＋，都有1n＋1＋1n＋2＋…＋13n＋12524.故a的最大值为25.