线性代数第四章-矩阵的特征值和特征向量

第四章矩阵的特征值和特征向量第一节相似矩阵第二节特征值与特征向量第三节矩阵可相似对角化的条件第四节实对称矩阵的相似对角化第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵§4.1相似矩阵柯西(AugustinLouisCauchy[法]):给出了特征方程的术语,证明了任意阶实对称矩阵都有实特征值给出了相似矩阵的概念,证明了相似矩阵有相同的特征值凯莱(ArthurCayley[英]):方阵的特征方程和特征根(特征值)的一些结论克莱伯施(RudolfFriedrichAlfredClebsch[德]),布克海姆(A.Buchheim[德])等:证明了对称矩阵的特征根性质泰伯(H.Taber):引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论约当(MarieEnnemondCamilleJordan[法]):矩阵化为标准型的问题第二章n维向量§2.6内积与正交矩阵柯西[法](1789.8.21~1857.5.23)顺治1644-1662康熙1662-1723雍正1723-1736乾隆1736-1796嘉庆1796-1821道光1821-1851咸丰1851-1862同治1862-1875光绪1875-1908宣统1908-1911§1.1矩阵的基本概念第一章矩阵顺治1644-1662康熙1662-1723雍正1723-1736乾隆1736-1796嘉庆1796-1821道光1821-1851咸丰1851-1862同治1862-1875光绪1875-1908宣统1908-1911凯莱[英](1821.8.16~1895.1.26)第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵顺治1644-1662康熙1662-1723雍正1723-1736乾隆1736-1796嘉庆1796-1821道光1821-1851咸丰1851-1862同治1862-1875光绪1875-1908宣统1908-1911克莱伯施[德](1833.1.19~1872.11.7)第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵约当[法](1838.1.5~1922.1.22)顺治1644-1662康熙1662-1723雍正1723-1736乾隆1736-1796嘉庆1796-1821道光1821-1851咸丰1851-1862同治1862-1875光绪1875-1908宣统1908-1911民国1912-1949一.问题习题1(B).23求A11.设P1AP=,P=,=14111002,A=PP1A11=(PP1)(PP1)(PP1)…(PP1)11=100211=P11P1第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵二.相似矩阵的定义A与B相似(similar):P,s.t.P1AP=B.记为A~B.易见,矩阵间的相似关系满足(1)反身性:A~A;第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵E1AE=A(2)对称性:A~BB~A;P1AP=BPBP1=A(3)传递性:A~B,B~CA~C.P1AP=BQ1BQ=CQ1(P1AP)Q=(PQ)1A(PQ)=即矩阵间的相似关系是一种等价关系.且A与B相似A与B相抵.但反之未必.性质1.设A~B,f是一个多项式,则f(A)~f(B).证明:设P1AP=B,f(x)=anxn+…+a1x+a0,则P1f(A)P=anP1AnP+…+a1P1AP+a0P1EP=an(P1AP)n+…+a1P1AP+a0E=P1(anAn+…+a1A+a0E)P=anBn+…+a1B+a0E=f(B).三.相似矩阵的性质第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵性质2.设A~B,则|A|=|B|.证明:P1AP=B|P1AP|=|B||P1||A||P|=|P|1|A||P|=|A|=性质3.设A~B,则r(A)=r(B).证明:P1AP=Br(A)=r(B).第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵A=a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…annA的迹(trace):tr(A)=a11+a22+…+ann(1)tr(A+B)=tr(A)+tr(B);(2)tr(kA)=ktr(A);(3)tr(AB)=tr(BA).第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵性质4.设A~B,则tr(A)=tr(B).证明:P1AP=Btr(B)=tr(P1AP)=tr(APP1)=tr(A).第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵P1AP=B注:可逆矩阵A~BA1~B1.(P1AP)1=B1P1A1P=B1例1.01x3~250y0+3=2+yx=2yx=2,y=1.1.定义:四.相似对角化(diagonalize)A~==P1AP10…002…0…………00…nP=(1,…,n)可逆1,…,n线性无关P1AP=AP=P(A1,…,An)=(11,…,nn)第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵2.条件:定理4.1.Ann~对角矩阵1,…,n和线性无关的1,…,n,s.t.Ai=ii(i=1,…,n).P=(1,…,n),=diag(1,…,n),在此条件下,令则P1AP=.第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量§4.2特征值与特征向量一.定义A=n阶方阵非零向量特征值(eigenvalue)特征向量(eigenvector)对应“Eigen”isGermanfor“characteristicof”or“peculiarto”;someauthorscallthesecharacteristicvaluesandvectors.Noauthorscallthem“peculiar”.A=(E–A)=0|E–A|=0特征方程(characteristicequation)|E–A|=–a11–a12…–a1n–a21–a22…–a2n…………–an1–an2…–ann特征多项式(characteristicpolynomial)E–A特征矩阵特征值特征向量第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量二.计算定理4.2.(1)0为A的特征值|0E–A|=0.(2)为A的对应于0特征向量(0E–A)=0.1.理论依据2.步骤计算|E–A|求|E–A|=0的根求(E–A)x=0的基础解系第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量例1.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值为1=2,2=4.解之得A的对应于1=2的特征向量为对于1=2,(2E–A)x=0即3113|E–A|=–311–3=(–2)(–4).x1+x2=0x1x2=0x1x2=k11(kR).kk(0kR).第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量例1.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值为1=2,2=4.解之得A的对应于2=4的特征向量为对于2=4,(4E–A)x=0即3113|E–A|=–311–3=(–2)(–4).x1+x2=0x1+x2=0x1x2=k11(kR).kk(0kR).第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量110430102解:|E–A|=(–2)(–1)2.所以A的特征值为1=2,2=3=1.对于1=2,求得(2E–A)x=0的基础解系:p1=(0,0,1)T.对应于1=2的特征向量为kp1(0kR).对于2=3=1,求得(E–A)x=0的基础解系:p2=(–1,–2,1)T.对应于2=3=1的特征向量为kp2(0kR).例2.求A=的特征值和特征向量.第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量解:|E–A|=(+1)(–2)2.所以A的特征值为1=–1,2=3=2.(–E–A)x=0的基础解系:p1=(1,0,1)T.对应于1=–1的特征向量为kp1(0kR).(2E–A)x=0的基础解系:p2=(0,1,–1)T,p3=(1,0,4)T.对应于2=3=2的特征向量为k2p2+k3p3(k2,k3不同时为零).例3.求A=的特征值和特征向量.第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量211020413三.性质性质5.设A~B,则|E–A|=|E–B|.第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量=|EB||P|1|EA||P|=|P1||EA||P|=|P1(EA)P|=|(P1EP1A)P|=|P1EPP1AP|=|P1PB|证明:P1AP=B注:特征多项式相同的矩阵未必相似.例如假若P–1AP=B,则A=PBP–1=B.矛盾!|EA|=|EB|==(1)2.1101=(1)2.1001A=1011,B=1001,第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量(a11)(a22)…(ann)f(0)=|A|=(1)n|A|.A的迹(trace),记为tr(A)f()=|EA|==n(a11+a22+…+ann)n1+…a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann性质6.设A=(aij)nn的特征值为1,…,n,则(1)1+…+n=tr(A).(2)1…n=|A|.第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量若3阶方阵EA,E+A,2E3A都不可逆,则tr(A)=_______,|A|=_______.所以|1EA|=|1EA|=|EA|=0,23故tr(A)=11+=,232323|A|=.例4.解:因为方阵EA,E+A,2E3A都不可逆,性质6.设A=(aij)nn的特征值为1,…,n,则(1)1+…+n=tr(A).(2)1…n=|A|.第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量推论.A可逆1,…,n全不为零.性质7.|E–A|=|E–AT|.例5.设为方阵A的特征值,证明2为A2的特征值.证明:因为为A的特征值,即有非零向量x使Ax=x,于是(A2)x=A(Ax)=A(x)=(Ax)=2x,所以2为A2的特征值.例6.设为方阵A的特征值,证明()=22–3+4为(A)=2A2–3A+4E的特征值.证明:因为为A的特征值,即有非零向量x使Ax=x,于是(A)x=(2A2–3A+4E)x=2(A2)x–3Ax+4x=22x–3x+4x=(22–3+4)x=()x,所以()为(A)的特征值.第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量A=特征值特征向量A2=A(A)==A()=A=2An=n(anAn+…+a1A+a0E)=anAn+…+a1A+a0=ann+…+a1+a0=(ann+…+a1+a0)(A)==()第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量A=特征值特征向量An=n,(A)=()()=O=0()=0(A)=O若方阵A满足A2+A6E=O,证明A的特征值只可能是3或2.举例说明3或2未必都是A的特征值.例7.第四章矩阵的特征值和特征向量§4.2特征值与特征向量A=特征值特征向量An=n,(A)=()=A1A1