小专题复习课 热点总结与强化训练(二)

热点总结与强化训练(二)热点1三角恒等变换1.本热点在高考中的地位三角恒等变换是每年高考必考的一个知识点，是综合考查三角函数的图像性质、三角恒等变换的技巧方法的重要载体，其中利用三角关系式、恒等式化简函数解析式，进一步研究函数性质是高考热点.2.本热点在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对三角恒等变换的考查，主要有以下几种方式：(1)填空题中，利用三角恒等变换化简求值或求角.(2)解答题中，利用三角恒等变换化简函数解析式，进而研究函数y=Asin(ωx+φ)的有关性质.(3)解答题中，与正、余弦定理结合，解三角形.(4)解答题中，往往与平面向量相结合.1.两角和(差)的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ2.二倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2αmtantantan1tantanm22tantan21tan3.公式的逆用和变形asinα+bcosα=其中22absin()，btana221cos2cos21cos2sin2本专题中，公式的灵活应用至关重要，在备考时，要加强对公式的记忆，弄清各公式之间的联系和区别，注意角的配凑技巧，如等.2()()()22222g(1)(2011·北京高考)已知函数f(x)=4cosxsin(x+)-1.①求f(x)的最小正周期；②求f(x)在区间［］上的最大值和最小值.(2)(2011·江西高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,已知sinC+cosC=1-①求sinC的值；②若a2+b2=4(a+b)-8,求边c的值.6,64Csin.2【解题指南】(1)①先把sin(x+)展开，再降幂化简；②求出角的范围是解题的关键.(2)①先利用倍角公式把sinC,cosC用表示，再利用求解；②由a2+b2=4(a+b)-8求a,b，再利用余弦定理求解.6CCsin,cos222CC(sincos)1sinC22【规范解答】(1)①因为f(x)=4cosxsin(x+)-1=2sin(2x+)所以f(x)的最小正周期为π.②因为所以于是，当即时，f(x)取得最大值2；当2x+=-,即x=-时，f(x)取得最小值-1.662314cosx(sinxcosx)13sin2x2cosx122313sin2xcos2x2(sin2xcos2x)22x,6422x.6632x62，x6666(2)①已知sinC+cosC=1-整理即有：又C为△ABC中的角，∴≠0Csin22222CCCCCCC2sincoscossincossinsin22222222CCCC2sincos2sinsin02222CCCsin(2cos2sin1)0222Csin2222CC1CC1sincos(sincos)222224CCCC12sincoscossin22224CC332sincossinC.2244②∵a2+b2=4(a+b)-8∴a2+b2-4a-4b+4+4=0⇒(a-2)2+(b-2)2=0⇒a=2,b=2,又27cosC1sinC,4Q22cab2abcosC71.1．已知函数f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx.(1)求f()的值；(2)求f(x)的最大值和最小值.【解析】322(1)f()2cossin4cos333331914.424(2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx=3cos2x-4cosx-1=3(cosx-)2-,x∈R因为cosx∈［-1,1］,所以，当cosx=-1时，f(x)取最大值6；当cosx=时，f(x)取最小值-.237323732.(2011·湖南高考)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足csinA=acosC.(1)求角C的大小；(2)求的最大值，并求取得最大值时角A,B的大小．【解析】(1)由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC.因为0Aπ,所以sinA0.从而sinC=cosC.又sinC≠0,所以cosC≠0,所以tanC=1,则3sinAcos(B)4C.4(2)由(1)知于是从而当即时，取最大值2．综上所述，的最大值为2，此时3BA.43sinAcos(B)3sinAcos(A)43sinAcosA2sin(A).63110A,A,46612QA,62A32sin(A)63sinAcos(B)45A,B.3123.△ABC的面积是30，内角A,B,C所对边长分别为a,b,c，cosA=(1)求(2)若c-b=1，求a的值.【解析】由cosA=，得又bcsinA=30，∴bc=156.(2)a2=b2+c2-2bccosA=(c-b)2+2bc(1-cosA)=1+2×156×(1-)=25,∴a=5.12.13ABAC；uuuruuur12132125sinA1().13131212(1)ABACbccosA156144.13uuuruuurg12134.在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状.【解析】(1)由已知，根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA故cosA=-,A=120°.12(2)由(1)得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC.又sinB+sinC=1，得sinB=sinC=因为0°B90°,0°C90°,故B=C,所以△ABC是等腰的钝角三角形.12热点2平面向量的数量积1.本热点在高考中的地位平面向量的数量积是平面向量应用的主要体现，在高考中对本部分知识的考查主要集中在数量积的计算，应用数量积求角、求距离(模)上，常以填空题的形式出现，难度不大.2.本热点在高考中的命题方向及命题角度从历年高考试题来看，对平面向量的数量积的考查主要有以下几种方式：(1)数量积的计算:主要有两种:图形中计算a·b=|a||b|cosθ(θ为a与b的夹角)；坐标形式计算a·b=x1x2+y1y2(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)).(2)利用数量积求角：考查的应用.(3)利用数量积求模：|a|2=a·a.(4)与三角函数、解三角形结合.cosgabab1.数量积的定义：设a与b的夹角为θ，则a·b=|a||b|cosθ，其几何意义为|a|与|b|在a方向上的射影的积，满足交换律和数乘结合律、分配律.2.数量积的运算：向量形式下，关键是确定|a|，|b|及a与b的夹角;坐标形式下，是对应坐标乘积的和.3.数量积的应用：把定义式变形，可得0.，ggaaaababcos||||，gabab在备考中要理解数量积的概念和运算法则，把握数量积的几何意义，掌握数量积在解决垂直、夹角、长度等问题方面的应用，并且加强对数量积与直线、三角函数、圆锥曲线、数列等知识的综合问题的训练.(1)(2011·大纲版全国卷)设向量a，b,c满足|a|=|b|=1，a·b=-,〈a-c,b-c〉=60°,则|c|的最大值等于()(2)(2011·江西高考)已知两个单位向量e1，e2的夹角为若向量b1=e1-2e2，b2=3e1+4e2，则b1·b2=______.【解题指南】(1)构造图形,利用四点共圆求解.(2)先把b1，b2用e1,e2表示，然后计算b1·b2.12(A)2(B)3(C)2(D)1　　　　　　　　3，【规范解答】(1)选A.如图，构造所以A、B、C、D四点共圆，可知当线段AC为直径时，|c|最大，最大值为2.(2)b1·b2=(e1-2e2)·(3e1+4e2)=3e12-2e1·e2-8e22=3-2×1×1×cos-8=-6.答案：-6AB,AD,AC,BAD120,BCD60,uuuruuuruuurabc31.若向量a=(1,1)，b=(2，5)，c=(3，x)满足条件(8a-b)·c=30，则x=()(A)6(B)5(C)4(D)3【解析】选C.8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3)，所以(8a-b)·c=(6,3)·(3,x)=30.即18+3x=30,解得x=4，故选C.2.已知平面向量则的值是______.【解析】由题意可知=0，结合||2=1，解得=，所以=4+2+4=10，开方可知答案为答案：1210.10,,||1,||2,(2),|2|(2)gg222|2|44g3.如图，在△ABC中,AD⊥AB,则【解析】由已知得：答案：BC3BD,|AD|1,uuruuuruuurACAD____.uuuruuur2ACAD(ABBC)ADABADBCAD03(BAAD)AD3|AD|3.uuuruuuruuuruuruuuruuuruuuruuruuuruuuruuuruuuruuur34.(2012·广州模拟)在四边形ABCD中，则四边形ABCD的面积是_______.113BABCBD|BA||BC||BD|，uuuruuruuuruuuruuruuurABDC(1,1),uuuruuur【解析】表示与同向的单位向量.又∴BD为∠ABC的平分线，且∠ABC=60°.∴四边形ABCD为菱形.其边长为∴∠BAD=120°,∴sin∠BAD=S四边形ABCD=答案：BA|BA|uuuruuurQ113BABCBD|BA||BC||BD|，uuuruuruuuruuuruuruuur2,3,223(2)3.23BAuuur