郑州市2014-2015学年高二下期期末数学(理)

12014—2015学年下期期末考试高二数学（理）试题卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的）1.已知i是虚数单位，则复数242izi在复平面内对应的点所在象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设2500,60XN，4400.16PX，则560PX等于（）A.0.16B.0.32C.0.84D.0.643.用反证法证明命题“自然数,,abc中恰有一个偶数”时，需假设（）A.,,abc都是奇数B.,,abc都是偶数C.,,abc都是奇数或至少有两个偶数D.,,abc至少有两个偶数4.如图，函数yfx的图象在点P处的切线方程是8yx，则5'5ff（）A.5B.4C.3D.25.某餐厅的原料费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程ˆ8.57.5yx，则表中m的值为（）A.50B.55C.60D.656.若函数1sin2sin2fxxx，则'fx是（）A.仅有最小值的奇函数B.仅有最大值的偶函数C.既有最大值又有最小值的偶函数D.非奇非偶函数7.由曲线yx，直线2yx及y轴所围成的图形的面积为（）A.103B.163C.4D.68.函数331fxxx在闭区间3,0上的最大值、最小值分别是（）A.1,1B.1,17C.3,17D.3,19.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（）2A.24B.14C.8D.610.设'fx是函数fx的导函数，将yfx和'yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）11.口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回的每次模取一个球，定义数列na：1,1,nnan第次摸红球第次摸取白球，如果nS为数列na的前n项和，那么73S的概率为（）A.224729B.28729C.352387D.287512.若函数32fxxaxbxc有两个极值点12,xx，且11fxx，则关于x的方程2320fxafxb的不同实根的个数是（）A.3B.4C.5D.6第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.42xx的展开式中3x的系数是.14.设是一个离散型随机变量，其分布列如图，则q.15.设,AB为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为310，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为12，则事件A发生的概率为.16.如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为1,2,3,4iai，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为1,2,3,4ihi，若31241234aaaak，则412iiSihk.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为1,2,3,4iSi，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为1,2,3,4iHi，若31241234SSSSK，则41iiiH.3三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17.设复数21312iizi，若21zazbi，求实数,ab的值.18.已知*22nxnNx的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1.（I）求展开式中各项系数的和；（II）求展开式中含32x的项.19.某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：记某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元），空气质量指数API为.已知在区间0,100内对企业没有造成经济损失；在区间(100,300]内对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元.（I）试写出S的表达式；（II）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；（III）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面22列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？附：420.学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱中装有3个白球、2个黑球，乙箱中装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱中各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）.（I）若某同学参加了1次游戏，求其获奖的概率；（II）若某同学参加了2次游戏，求其获奖次数X的分布列及数学期望EX.21.已知*1111111111,()2342121232nnSTnNnnnnnn…….（I）求12,SS及12,TT；（II）猜想nS与nT的关系，并用数学归纳法证明.22.已知函数2lnfxxx.（I）求3hxfxx的极值；（II）若函数gxfxax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（III）设223FxfxxkxkR，若函数Fx存在两个零点,mnmn，且满足02xmn.问：函数Fx在00,xFx处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.52014—2015学年下期期末学业水平测试高中二年级理科数学参考答案一、选择题1-12DACDCCBCBDBA二、填空题13.24；14.1;215.3;516.3.VK三、解答题17．解：2(1)3(1i)2izi233322iiiii(3)(2i)55i1.55ii..........................3分又22(1)(1)zazbiaib2()(2)1.iaaibabaii..............7分故1,(2)1.aba解得3,4.ab.........................10分18.解：由题意知，第五项系数为C4n·(－2)4，第三项的系数为C2n·(－2)2，则有C4n·－24C2n·－22＝101，化简得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．...............................3分(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.............6分(2)通项公式Tr＋1＝Cr8·(x)8－r·(－2x2)r＝Cr8·(－2)r·x822rr，令8－r2－2r＝32，则r＝1，...........................10分故展开式中含x32的项为T2＝－16x32.............12分19.解：（1）0,0,100,()4100,100,300,2000,300,.S..............4分（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元”为事件A，由500900S，得150250，频数为39，所以估计...4分（3）根据以上数据得到如下列联表：非重度污染重度污染合计39()100PA6供暖季22830非供暖季63770合计85151002K的观测值.所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关...............12分20.解：（1）记“在1次游戏活动中摸出i个白球”为事件Ai(i=0，1，2，3)则21121332222222253531().2CCCCCPACCCC2132322531().5CCPACC............................3分记“在1次游戏中获奖”为事件B，则23.BAA因为A2，A3互斥，所以P(B)=P(A2)+P(A3)=117.2510.......6分（2）由题意知，X的所有取值为0，1，2.,1009)1071()0(2XP,5021)1071(107)1(12CXP,10049)107()2(2XP.....................9分所以X的分布列是X012P1009502110049X的数学期望为E(X)=921497012.100501005...............12分1211111721.11,1,2223412解：（）SS1211117,,112212212TT............4分*(2)()猜想：即：nnSTnN*1111111111(),..............62342121232分nNnnnnnn下面用数学归纳法证明：111,1.当时，已证nST*2.(1,),N假设时，成立即：kknkSTkk1111111111.2342121232kkkkkk21006382274.5753.84185153070k7111111212(1)212(1)则当时，有kkknkSSTkkkk1111111232212(1)kkkkkk1111112322112(1)kkkkkk11111(1)1(1)22212(1)kkkkk1.kT11112这也就是说，当时，也有成立，由、可知，kknkST*.............................12N对任意，都成立.分nnnST22.解：（1）函数定义域为（0，+），由已知xxxxh132)('2，令2231'()0xxhxx，得12x，或1x.列表如下：x(0，12)12(12，1)1(1，∞)'()hx00()hx递增极大值递减极小值递增所以2)1()(hxh极小值，2ln45)21()(hxh极大值.........3分（2）由题意，知恒成立，即.又，当且仅当时等号成立.故，所以.......................................7分（3）设在的切线平行于轴，其中2()2lnFxxxkx，结合题意，22ln0mmkm，22ln0nnkn，相减得8'0002()20Fxxkx，所以0022kxx，又02mnx，4()kmnmn，所以设，设，所以函数在上单调递增，因此，，即也就是，，所以2(1)2()ln1mmmnnmnmnn无解.所以在处的切线不能平行于轴......................12分