4实变函数

第一节Lesbesgue积分的定义及性质第四章积分理论1.积分的定义iniiEmEcdxxL1)()()(xiniEE1)()(1xcxiEnii设是(Ei可测且两两不交）上非负简单函数，定义为在E上的Lebesgue积分01001)()(dxxDLE有QxQxxD]1,0[1]1,0[0)(例：对Dirichlet函数01⑴非负简单函数的积分⑵非负可测函数的积分()()sup{()():()0()()}EELfxdxLxdxxExfx为上的简单函数，为f(x)在E上的Lebesgue积分设f(x)为E上非负可测函数，定义|)(||)(|21xx)(lim)(xxfnn)}({xn若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列简单函数的极限，而且还可办到⑶一般可测函数的积分积分的几何意义：);()()(fEmGdxxfLE)}(0,:),{();(xfyExyxfEGdxxfLE)()(注：当有限时，称f(x)在E上L可积dxxfLdxxfLEE)()(,)()(（要求不同时为）为f(x)在E上的Lebesgue积分（有积分）dxxfLdxxfLdxxfLEEE)()()()()()(设f(x)为E上的可测函数，定义⒉积分的性质()()()|()|()()fxfxfxfxfxfx⑴零集上的任何函数的积分为0|()||()|EEfxdxfxdx⑵f(x)可积当且仅当|f(x)|可积（f(x)是可测函数）,且xdxgdxxfxgxfEE)()()()(，则若⑶单调性:dxxfdxxfxdxgdxxfdxxgxfEEEEE)()()()())()((⑷线形:(5)设f(x)是E上的可测函数，，证明a.e.于E0|)(|dxxfE0)(xf001]0||[]0||[nnffnmEmEmEmE，从而可得nnEEEEEmEdxxfdxxfdxxfdxxfnnn1|)(||)(||)(||)(|0从]||[1nfnEE令nnfEE1]0||[且证明：则En为可测集,即f(x)=0a.e.于E。([01/n用到了积分的可加性(6)若f可积，则f几乎处处有限.[||]nfnEE令证明：lim0nnmE所以dxxfdxxfmEnEEnn|)(||)(|对每个n，有0lim)lim()(1]|[|nnnnnnfmEEmEmmE从而[||]1,limfnnnnEEE123则EEE且321EEE则(7)积分的绝对连续性说明：若|f(x)|M,则只要取δ=ε/M即可，所以我们要把f(x)转化为有界函数。,0,0,,时当meEedxxfdxxfee|)(||)(|若f(x)在E上可积，则及任何可测子集有即：当积分区域很小时，积分值也很小.积分的绝对连续性的证明MeeeeMMdxdxfdxfdxfmeEe222)|(|||||时，，且，则当令|})(|)(0xfx且上简单函数，为ExdxxdxxfEE)(:)(sup{|)(|证明：由于f(x)可积，故|f(x)|也可积故对任意ε，存在E上的简单函数φ(x)，22()|()|(),(|()|())EEEExdxfxdxxdxfxxdx故有且|,)(|)(0xfx使在E上由于φ(x)为简单函数，故存在M，使得|φ(x)|MiniibamEdxxfL10],[lim)()(yiyi-1分割值域Lesbesgue积分xi-1xiiniiTbaxfdxxfR10||||)(lim)()(分割定义域Riemann积分⒊非负可测函数可积的等价描述12100kkyyyyy令其中,1kkyy,3,2,1,0})(:{1kyxfyxEkkk设f(x)为E上几乎处处有限的非负可测函数,mE+∞，在[0,+∞)上作分划:kkkmEy0kkkEmEydxxfL00lim)()(且则f(x)在E上可积当且仅当yk+!yk非负可测函数可积的等价描述的证明000()limkkEkfxdxymE当时，即有00010100)()(kkkkkkkkkkkkkkEEkkkmEymEmEymEyymEydxxfdxxfmEyk）（从而01001)(,2,1,0,)(kkkkEkkkkkEkkmEydxxfmEykmEydxxfmEykk故由于证明：yk+1yk例：若E1,E2,…,En是[0,1]中的可测集，[0,1]中每一点至少属于上述集合中的k个(k≤n),则在E1,E2,…,En中必有一个点集的测度大于或等于k/n010nkkiinnikinimEmEnkimE若对每个，，则，从而得到矛盾，所以存在，使。，所以时，有证明：当]1,0[1]1,0[111)()()(]1,0[kdxxdxxmEkxxiiiEniEniiniEni例设fn(x)为E上非负可测函数列，EfdxxfnEnn于，则若00)(lim0][)()()(][][nfEnfEnEnfmEdxxfdxxfdxxfnn有证明：,00][lim0)(limnnnEnfmEdxxf，所以又0nfE从而于用到了积分的可加性第二节Lesbesgue积分的极限定理第四章积分论1.Levi逐项积分定理EnnEnndxxfdxxf)(lim)(lim则只要证明大于等于，但一般而言fn(x)不会跑到f(x)上方,所以我们有必要先把f(x)下移一点。f(x)cf(x)fn(x)注意：当fn(x)一致收敛f(x)时，fn(x)才会整体跑到f(x)上方。)()(lim,)()()()(321xfxfxfxfxfxfnnn且若fn(x)为E上非负可测函数列，说明：小于等于显然成立，因为fn(x)总在f(x)的下方,Levi逐项积分定理的证明EEndxxdxxn)()(lim引理1：设{En}是递增集列，是Rn上的非负可测简单函数，则)(,1xEEnndxxfdxxfdxxfnnEEnEn)(lim)()(lim引理2：设f(x)是E上的非负可测函数，A是E中可测子集，则EAAdxxxfdxxf)()()(证明：由条件知fn(x)为E上非负可测函数递增列，,3,2,1,)()(1ndxxfdxxfEnEn有定义，又dxxfnEn)(lim所以Enndxxf)(lim故有定义，且从函数列的渐升性知道下证大于等于号Levi逐项积分定理的证明)}()(|{xcxfExEnn记()sup{():()0()()}EEfxdxxdxxExfx为上的简单函数，)()(xfx)(x证明：令c满足0c1，是Rn上的非负可测简单函数，且EEEnnnn1lim且则{En}是递增集列，EEndxxcdxxcn)()(lim由引理1知cφ(x)f(x)fn(x)φ(x)Levi逐项积分定理的证明EEnndxxcdxxf)()(lim得到dxxdxxfcEEnn)()(lim,1则有令dxxfdxxfEEnn)()(lim所以)}()(|{xcxfExEnndxxfdxxfEnEn)()(lim再由的积分定义知,)()()()()()(nnnnEEEnEEnEndxxcdxxcdxxfdxxxfdxxf于是从（应用引理2）f(x)φ(x)cφ(x)fn(x)对Levi逐项积分定理的说明f(x)fn(x)fn+1(x));()()(fEmGdxxfLE积分的几何意义（函数非负）：)()(lim,)()()()(321xfxfxfxfxfxfnnn且EnnEnndxxfdxxf)(lim)(lim则若fn(x)为E上非负可测函数列，);(lim);(lim(nnnnfEmGfEGm为递增集列);(nfEG单调增集列测度的性质2.Lebesgue逐项积分定理（级数形式）然后利用Levi逐项积分定理即可)()()}({)()(lim11xgxfxgxfxgnnnnnniin，且为非负可测函数递增列则证明：令11)(iiiimAAm对应于测度的可数可加性11)()(nnEnEndxxfdxxf若fn(x)为E上非负可测函数列，则对比:积分的线性(有限个函数作和)例试求dxxxRnn11122)1()(]1,1[,)(:)1(22xxfnxxn令解dxxxRnn11122)1()(从而dxxxLnn1]1,1[22)1()(]1,1[122)1()(dxxxLnn21)(]1,1[dxL)(xfn则为非负连续函数，当然为非负可测函数，定理：若f(x)在[a,b]上Riemann可积，则f(x)在[a,b]上Lebesgue可积，且babadxxfRdxxfL)()()()(],[例10,)()()1(11122232xxxxxxxnn试从nn1)1(41312112ln证明,3,2,1),1,0(,)(1222nxxxxfnnn解：令dxxfRdxxfLdxxfLdxxLnnnnnn1101)1,0()1,0(1)1,0()()()()()()(11)(dxxxRnnn)()(11012221)21121(nnn1(0,1)011()()ln211LdxRdxxx另外nn1)1(4131211从而结论成立)(xfn则为非负连续函数，当然为可测函数，从而由Lebesgue逐项积分定理知：3.积分的可数可加性然后利用Lebesgue逐项积分定理即可)()()()()()(1xxfxfdxxxfdxxfnnnEnEEE及，证明：由11)(iiiimAAm对应于测度的可数可加性Lebesgue逐项积分定理是关于被积函数积分的可数可加性是关于积分区域1)()(1nEEnnndxxfdxxfnnEE1若f(x)在（En可测且两两不交）上非负可测或可积，则注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性推论：在一零测度集上改变函数的取值，不影响其可积性且积分值不变证明：令E1=E[f≠g]，E2=E[f=g]，则mE1=0从而即：设f(x)=g(x)a.e.于E，f(x)在E上可积，则g(x)在E上也可积且EEdxxgdxxf)()(EEEEEEdxxgdxxgdxxgdxxfdxxfdxxf)()()()()()(2121例设[0,1]上的函数f(x)在Cantor集P上定义为0，在Cantor集余集中长度为1/3n的构成区间上定义为n(n=1,2,3，…)，求f(x)在[0,1]上的Lebesgue积分值解：令Gn为Cantor集P的余集中长度为1/3n的构成区间的并，由条件知f(x)是[0,1]上的非