函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

一、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)振幅周期频率相位初相AT＝f＝ωx＋φφ2πω1T例1：已知简谐运动f(x)＝2sinπ3x＋φ(|φ|π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A．T＝6，φ＝π6B．T＝6，φ＝π3C．T＝6π，φ＝π6D．T＝6π，φ＝π3A例2：y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.解析：观察函数图象可得周期T＝2π3，又由函数，y＝Asin(ωx＋φ)得T＝2πω，则T＝2π3＝2πω，所以ω＝33[例3](2010·福建高考)已知函数f(x)＝3sin(ωx－π6)(ω0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈[0，π2]，则f(x)的取值范围是________________．[自主解答]∵f(x)和g(x)的对称轴完全相同，∴二者的周期相同，即ω＝2，f(x)＝3sin(2x－π6)．[－32，3]二、y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象例：函数y＝sinx2的图象的一条对称轴的方程是()A．x＝0B．x＝π2C．x＝πD．x＝2πC1.平移变换：y=sinxsin()3yx2.周期变换：y=sinxsin2xy3.振幅变换：y=sinx2sinyx[例1](2010·四川高考)将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()A．y＝sin2x－π10B．y＝sin2x－π5C．y＝sin12x－π10D．y＝sin12x－π20C【练习】y＝3cos2x＋π6的图象，只需将函数y＝cosx的图象如何变换？【练习】要得到函数y＝cos2x＋π6的图象，只需将函数y＝cos2x的图象()A．向右平移π6个单位B．向右平移π12个单位C．向左平移π6个单位D．向左平移π12个单位D解析：y＝cos2x＋π6＝cos2x＋π123．将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y＝sinx－π6的图象，则φ等于()A.π6B.11π6C.7π6D.5π6解析：依题意得y＝sinx－π6＝sin(x－π6＋2π)＝sinx＋11π6，故将y＝sinx图象向左平移11π6个单位后得到y＝sinx＋11π6＝sinx－π6的图象．B[例3](2011·江苏高考)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．[解:]A＝2，T4＝7π12－π3＝π4，所以T＝π，ω＝2πT＝2，又函数图象经过点π3，0，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3故函数的解析式为f(x)＝2sin2x＋π3，所以f(0)＝2sinπ3＝62若本例函数图象变为如图所示，试求f(0)解：A＝5;T2＝5π2－π＝3π2，得T＝3π，∴ω＝2πT＝23.此时y＝5sin23x＋φ将最高点坐标π4，5代入y＝5sin23x＋φ得5sinπ6＋φ＝5，∴π6＋φ＝2kπ＋π2，∴φ＝2kπ＋π3(k∈Z)又|φ|π，∴φ＝π3.∴f(0)＝5sinπ3＝5325．(2012·南京模拟)f(x)＝Atan(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2，y＝f(x)的部分图象如图所示，则fπ24＝________.解析：由题中图象可知，此正切函数的半周期等于38π－18π＝28π＝14π，即周期为12π，所以，ω＝2.由题意可知，图象过定点38π，0，所以0＝Atan2×38π＋φ，即34π＋φ＝kπ(k∈Z)，所以，φ＝kπ－34π(k∈Z)，又|φ|＜12π，所以，φ＝14π.再由图象过定点(0,1)，所以，A＝1.综上可知，f(x)＝tan(2x＋14π)．故有f124π＝tan2×124π＋14π＝tan13π＝3.6．(2012·北京东城区期末)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的部分图象如图所示．(1)求f(x)的最小正周期及解析式；(2)设g(x)＝f(x)－cos2x，求函数g(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．解：(1)由图可得A＝1，T2＝2π3－π6＝π2，所以T＝π.所以ω＝2.当x＝π6时，f(x)＝1，可得sin2×π6＋φ＝1，因为|φ|π2，所以φ＝π6.所以f(x)的解析式为f(x)＝sin2x＋π6.(2)g(x)＝f(x)－cos2x＝sin2x＋π6－cos2x＝sin2xcosπ6＋cos2xsinπ6－cos2x＝32sin2x－12cos2x＝sin2x－π6.因为0≤x≤π2，所以－π6≤2x－π6≤5π6.当2x－π6＝π2，即x＝π3时，g(x)的最大值为1；当2x－π6＝－π6，即x＝0时，g(x)的最小值为－12.[例4]设函数f(x)＝sinxcosx－3cos(x＋π)cosx(x∈R)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若函数y＝f(x)的图象向右平移π4个单位，再向上平移32个单位，平移后得到函数y＝g(x)的图象，求y＝g(x)在[0，π4]上的最大值．[自主解答](1)f(x)＝12sin2x＋3cos2x＝12sin2x＋32(1＋cos2x)＝12sin2x＋32cos2x＋32＝sin2x＋π3＋32.故f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.(2)依题意g(x)＝fx－π4＋32＝sin2x－π4＋π3＋32＋32＝sin2x－π6＋3.当x∈0，π4时，2x－π6∈－π6，π3，g(x)为增函数，所以g(x)在[0，π4]上的最大值为gπ4＝332.7．(2012·绍兴模拟)已知函数f(x)＝Asinπ3x＋φ，x∈R，A＞0，0＜φ＜π2.y＝f(x)的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)．(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；(2)若点R的坐标为(1,0)，∠PRQ＝2π3，求A的值．解：(1)由题意得，T＝2ππ3＝6.因为P(1，A)在y＝Asinπ3x＋φ的图象上，所以sinπ3＋φ＝1.又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π6.(2)设点Q的坐标为(x0，－A)，由题意可知π3x0＋π6＝3π2，得x0＝4，所以Q(4，－A)．如图，连接PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝2π3，由余弦定理得cos∠PRQ＝RP2＋RQ2－PQ22RP·RQ＝A2＋9＋A2－9＋4A22A·9＋A2＝－12，解得A2＝3.又A＞0，所以A＝3.[考题范例](12分)(2012·南京模拟)设函数f(x)＝sinπ4x－π6－2cos2π8x＋1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈0，43时，y＝g(x)的最大值．[规范解题](1)f(x)＝sinπ4xcosπ6－cosπ4xsinπ6－cosπ4x＝32sinπ4x－32cosπ4x＝3sinπ4x－π3，(3分)故f(x)的最小正周期为T＝2ππ4＝8.(4分)(2)在y＝g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于x＝1的对称点为(2－x，g(x))．由题设条件，点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图象上，可知g(x)＝f(2－x)＝3sinπ42－x－π3＝3sinπ2－π4x－π3＝3cosπ4x＋π3.(8分)当0≤x≤43时，π3≤π4x＋π3≤2π3，∴－12≤cosπ4x＋π3≤12，因此y＝g(x)在区间0，43上的最大值为g(x)max＝3cosπ3＝32.(12分)